Exercices corrigés — Algèbre linéaire (mathématiques approfondies (ECG 1re année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Calcul matriciel

• Le produit n'est pas commutatif
• Symétrique plus antisymétrique
• Les puissances d'une triangulaire, par le binôme
• Toutes les matrices qui commutent avec une matrice donnée Exercice d'entraînement
• La matrice remplie de un Exercice d'entraînement
• Commuter avec toutes les matrices Exercice d'entraînement
• Des tailles, et deux produits Exercice supplémentaire
• Transposer un produit Exercice supplémentaire
• Un carré, un cube, et une relation Exercice supplémentaire

Inversibilité

• Inversibilité selon un paramètre
• Inverser en résolvant le système
• Un polynôme annulateur donne l'inverse
• Nilpotente et somme géométrique
• Inverser, ou constater qu'on ne peut pas Exercice supplémentaire
• Diagonale et triangulaire Exercice supplémentaire

Systèmes linéaires

• Discuter un système à paramètre
• Un système homogène et l'espace de ses solutions
• Résoudre par le pivot, et détecter les trois cas
• Un système compatible seulement pour certains seconds membres Exercice d'entraînement
• Solution particulière plus solutions homogènes Exercice d'entraînement
• Deux systèmes, par le pivot Exercice supplémentaire

Espaces et sous-espaces vectoriels

• Trois parties de ${\mathbb{R}}_3[x]$
• Les suites de Fibonacci généralisées
• Intersection oui, réunion presque jamais
• Trois parties de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ Exercice d'entraînement
• La somme de deux sous-espaces Exercice d'entraînement
• Trois parties de ${\mathbb{R}}^3$ Exercice supplémentaire
• Une base de ${\mathbb{R}}^2$, et des coordonnées Exercice supplémentaire

Familles libres, génératrices, bases

• Une base de ${\mathbb{R}}_2[x]$
• Une base de ${\mathbb{R}}_3[x]$ centrée en un point
• Une base de ${\mathbb{R}}^3$, et des coordonnées Exercice d'entraînement
• Une famille échelonnée en degré est une base Exercice d'entraînement

Inversibilité et puissances

• Réduire les puissances grâce à une relation Exercice d'entraînement
• L'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses Exercice d'entraînement
• Les matrices égales à leur carré Exercice d'entraînement

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