Polynômes

Cours · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 2 · prépa ECG, 1re année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe d'un polynôme de degré 3 et ses trois racines réelles.

Un polynôme est l'objet le plus simple qu'on puisse construire à partir des quatre opérations : on part de $x$ , on multiplie, on additionne, et l'on s'arrête. Cette simplicité a une conséquence remarquable — tout ce qui concerne un polynôme se lit sur ses racines, et l'algèbre linéaire du semestre prochain fera de $R_{n} [x]$ l'un de ses exemples fondamentaux.

AttentionLe cadre

La construction des polynômes formels n'est pas au programme : on identifie un polynôme et la fonction polynomiale qu'il définit. Et les démonstrations de ce chapitre ne sont pas exigibles — ce qui compte est de savoir manipuler, factoriser, et reconnaître une multiplicité.

2.1 L'ensemble $R [x]$

Définition 2.1Polynôme, degré

Un polynôme à coefficients réels est une expression $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ avec $a_{i} \in R$ . L'ensemble de ces polynômes est noté $R [x]$ . Le degré de $P$ non nul, noté $de g P$ , est le plus grand exposant à coefficient non nul ; par convention $de g 0 = - \infty$ . On note $R_{n} [x]$ l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ .

iRemarquePourquoi

de g 0 = - \infty

Ce n'est pas une coquetterie. La convention rend les formules du degré vraies sans exception : $de g (P Q) = de g P + de g Q$ reste juste quand l'un des deux est nul, puisque $- \infty + d = - \infty$ . Sans elle, chaque énoncé traînerait une clause « si $P \neq = 0$ ».

Proposition 2.2Degré d'une somme, d'un produit

Pour $P, Q \in R [x]$ :

$de g (P Q) = de g P + de g Q, de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q) .$

La seconde inégalité est stricte exactement lorsque $P$ et $Q$ ont même degré et des termes dominants opposés.

2.2 Division euclidienne

◆Théorème 2.3Division euclidienne

Soient $A, B \in R [x]$ avec $B \neq = 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que

$A = B Q + R avec de g R < de g B .$

$Q$ est le quotient, $R$ le reste. Lorsque $R = 0$ , on dit que $B$ divise $A$ , ou que $A$ est un multiple de $B$ .

iRemarqueLa même que pour les entiers

C'est exactement la division euclidienne apprise à l'école, où « reste plus petit que le diviseur » devient « degré du reste strictement inférieur ». Le degré joue le rôle de la taille.

Exercices du chapitre

Degré d'un produit, degré d'une somme corrigé
Une division euclidienne corrigé
Le reste, sans faire la division corrigé
Factoriser à partir d'une racine corrigé
Deux factorisations dans les réels corrigé
Les racines de la dérivée corrigé

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Polynômes

2.1 L'ensemble R[x]

2.2 Division euclidienne

Exercices du chapitre

2.1 L'ensemble $R [x]$