Polynômes

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 2 · prépa ECG, 1re année

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Un polynôme est l'objet le plus simple qu'on puisse construire à partir des quatre opérations : on part de $x$ , on multiplie, on additionne, et l'on s'arrête. Cette simplicité a une conséquence remarquable — tout ce qui concerne un polynôme se lit sur ses racines, et l'algèbre linéaire du semestre prochain fera de $R_{n} [x]$ l'un de ses exemples fondamentaux.

AttentionLe cadre

La construction des polynômes formels n'est pas au programme : on identifie un polynôme et la fonction polynomiale qu'il définit. Et les démonstrations de ce chapitre ne sont pas exigibles — ce qui compte est de savoir manipuler, factoriser, et reconnaître une multiplicité.

2.1 L'ensemble $R [x]$

Définition 2.1Polynôme, degré

Un polynôme à coefficients réels est une expression $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ avec $a_{i} \in R$ . L'ensemble de ces polynômes est noté $R [x]$ . Le degré de $P$ non nul, noté $de g P$ , est le plus grand exposant à coefficient non nul ; par convention $de g 0 = - \infty$ . On note $R_{n} [x]$ l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ .

iRemarquePourquoi

de g 0 = - \infty

Ce n'est pas une coquetterie. La convention rend les formules du degré vraies sans exception : $de g (P Q) = de g P + de g Q$ reste juste quand l'un des deux est nul, puisque $- \infty + d = - \infty$ . Sans elle, chaque énoncé traînerait une clause « si $P \neq = 0$ ».

Proposition 2.2Degré d'une somme, d'un produit

Pour $P, Q \in R [x]$ :

$de g (P Q) = de g P + de g Q, de g (P + Q) \leq max (de g P, de g Q) .$

La seconde inégalité est stricte exactement lorsque $P$ et $Q$ ont même degré et des termes dominants opposés.

2.2 Division euclidienne

◆Théorème 2.3Division euclidienne

Soient $A, B \in R [x]$ avec $B \neq = 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que

$A = B Q + R avec de g R < de g B .$

$Q$ est le quotient, $R$ le reste. Lorsque $R = 0$ , on dit que $B$ divise $A$ , ou que $A$ est un multiple de $B$ .

iRemarqueLa même que pour les entiers

C'est exactement la division euclidienne apprise à l'école, où « reste plus petit que le diviseur » devient « degré du reste strictement inférieur ». Le degré joue le rôle de la taille.

2.3 Racines et multiplicité

Définition 2.4Racine

$a \in R$ est une racine de $P$ lorsque $P (a) = 0$ .

◆Théorème 2.5Factorisation par une racine

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(x - a)$ divise $P$ .

Démonstration

La division euclidienne de $P$ par $x - a$ s'écrit $P = (x - a) Q + R$ avec $de g R < 1$ , donc $R$ est une constante. En évaluant en $a$ : $P (a) = R$ . Ainsi $P (a) = 0$ équivaut à $R = 0$ , c'est-à-dire à la divisibilité.

Définition 2.6Ordre de multiplicité

$a$ est racine de $P$ d'ordre de multiplicité $k \geq 1$ lorsque

$(x - a)^{k} divise P et (x - a)^{k + 1} ne divise pas P,$

c'est-à-dire lorsque $P (x) = (x - a)^{k} Q (x)$ avec $Q (a) \neq = 0$ . Une racine d'ordre $1$ est dite simple, d'ordre $2$ double.

Exemple 2.7Le cas du degré 2

Pour $P (x) = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ) de discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

$Δ > 0$ : deux racines simples $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ et $P = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ;
$Δ = 0$ : une racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ et $P = a (x - x_{0})^{2}$ ;
$Δ < 0$ : aucune racine réelle, et $P$ garde le signe de $a$ .

Proposition 2.8Un polynôme qui a trop de racines est nul

Un polynôme de $R_{n} [x]$ ayant plus de $n$ racines distinctes — ou dont la somme des multiplicités dépasse $n$ — est le polynôme nul.

ImportantLa conséquence qu'on utilise

Deux polynômes de degré au plus $n$ qui coïncident en $n + 1$ points distincts sont égaux. C'est ce qui légitime l'identification des coefficients : si deux écritures polynomiales prennent les mêmes valeurs, on a le droit d'égaler leurs coefficients terme à terme.

2.4 Formule de Taylor pour un polynôme

◆Théorème 2.9Formule de Taylor polynomiale

Soit $P \in R_{n} [x]$ et $a \in R$ . Alors

$P (x) = k = 0 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} .$

Cette formule n'est pas une approximation : c'est une égalité exacte, et la somme est finie. Elle dit qu'un polynôme est entièrement déterminé par ses dérivées successives en un seul point — c'est une propriété spécifique des polynômes, et le point de départ des développements limités du second semestre.

Proposition 2.10Multiplicité et dérivées

$a$ est racine de $P$ d'ordre $k$ si et seulement si

$P (a) = P^{'} (a) = \dots = P^{(k - 1)} (a) = 0 et P^{(k)} (a) \neq = 0.$

Démonstration

Il suffit de lire la formule de Taylor en $a$ : les $k$ premiers termes de la somme s'annulent exactement lorsque les $k$ premières dérivées le font, et le polynôme s'écrit alors $(x - a)^{k}$ fois un polynôme dont la valeur en $a$ est $\frac{P ^{(k)} ( a )}{k !} \neq = 0$ .

2.5 Factorisation dans $R [x]$

◆Théorème 2.11Factorisation, énoncé admis

Tout polynôme non constant de $R [x]$ s'écrit comme produit d'une constante, de facteurs $(x - a)^{k}$ associés à ses racines réelles, et de facteurs du second degré sans racine réelle.

AttentionCe qu'on ne peut pas faire disparaître

Un facteur comme $x^{2} + 1$ ne se factorise pas davantage dans $R [x]$ : il n'a pas de racine réelle. C'est le prix à payer pour rester dans les réels — les nombres complexes, hors programme ici, effaceraient cette limite.

Exemple 2.12Factoriser pas à pas

Soit $P (x) = x^{4} - 1$ . On reconnaît une différence de carrés :

$x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) .$

Deux racines réelles simples, $1$ et $- 1$ , et un facteur irréductible. Contrôle : $de g P = 4 = 1 + 1 + 2$ — les degrés des facteurs s'ajoutent.

ImportantLa méthode générale

Chercher une racine évidente ( $0$ , $1$ , $- 1$ , un diviseur du terme constant), diviser par $(x - a)$ , recommencer sur le quotient. Le degré baisse d'une unité à chaque étape : le procédé s'arrête.

Python : Trouver les racines, et se méfier


import numpy as np

# coefficients du plus haut degre au plus bas : x^4 - 1
r = np.roots([1, 0, 0, 0, -1])
print(r)          # [-1.+0.j  0.+1.j  0.-1.j  1.+0.j]
print(r[r.imag == 0].real)      # [-1.  1.] : les racines REELLES

La bibliothèque renvoie quatre racines, dont deux complexes — hors programme ici. Deux seulement sont réelles, ce que la factorisation avait dit. Et les racines multiples sont rendues comme des racines distinctes très proches : sur $x^{2} - 2 x + 1$ , np.roots donne $1, 0000001$ et $0, 9999999$ . La multiplicité ne se lit pas sur un calcul numérique.

2.6 L'essentiel du chapitre

Fiche de synthèse

$de g 0 = - \infty$ , pour que $de g (P Q) = de g P + de g Q$ soit vraie sans exception.
Division euclidienne : $A = B Q + R$ avec $de g R < de g B$ , couple unique.
$a$ racine $⟺ (x - a) ∣ P$ . Multiplicité $k$ : $P = (x - a)^{k} Q$ avec $Q (a) \neq = 0$ .
Taylor polynomial : $P (x) = \sum_{k} \frac{P ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}$ , égalité exacte et somme finie.
Multiplicité et dérivées : $k$ est le rang de la première dérivée non nulle en $a$ .
Un polynôme de $R_{n} [x]$ à plus de $n$ racines est nul $\Rightarrow$ identification des coefficients.
Factorisation dans $R [x]$ : facteurs $(x - a)^{k}$ et facteurs de degré 2 sans racine réelle. Méthode : racine évidente, diviser, recommencer.

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