Exercices corrigés — Fonctions réelles d'une variable réelle (mathématiques approfondies (ECG 1re année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Limites et continuité

• Deux limites trigonométriques
• Un prolongement par continuité
• Une forme indéterminée $1^{\infty }$
• Deux formes indéterminées, deux factorisations Exercice d'entraînement
• Un raccord continu, mais non dérivable Exercice d'entraînement
• Deux limites finies aux bords suffisent à borner Exercice d'entraînement
• Trois limites en l'infini Exercice supplémentaire
• Deux prolongements par continuité Exercice supplémentaire

Valeurs intermédiaires et bijection

• Une bijection, et une valeur exacte
• Tout trajet continu a un point fixe
• Deux points distants d'un demi
• Une bijection, et la dérivée de sa réciproque Exercice d'entraînement
• L'image de $\mathbb{R}$ par une fonction bornée Exercice d'entraînement
• Une suite définie par une équation Exercice d'entraînement

Dérivation et accroissements finis

• La dérivée de l'arctangente
• Encadrer $\ln (n+1)-\ln n$
• Dérivable sans dérivée continue
• Rolle et les racines d'un polynôme
• Une suite récurrente, et sa vitesse
• Deux inégalités fondamentales, par l'étude d'une fonction Exercice d'entraînement
• Le sinus ne fait jamais grandir les écarts Exercice d'entraînement
• Quand la dérivée a une limite en l'infini Exercice d'entraînement

Intégration sur un segment

• Deux intégrations par parties
• Une somme de Riemann
• Une suite d'intégrales, encadrée puis chaînée
• Sommes de Riemann, et l'erreur en $1/n$
• Deux changements de variable Exercice d'entraînement
• Intégrale nulle d'une fonction continue positive Exercice d'entraînement
• Une somme de Riemann, puis un produit Exercice d'entraînement

Dérivation

• Cinq dérivées Exercice supplémentaire
• Une tangente, et deux tangentes horizontales Exercice supplémentaire
• Variations et maximum d'une fonction Exercice supplémentaire

Intégration

• Trois intégrales par primitive Exercice supplémentaire
• Une intégration par parties Exercice supplémentaire
• Encadrer une intégrale sans la calculer Exercice supplémentaire

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