Exercices corrigés — Algèbre linéaire en dimension finie (mathématiques approfondies (ECG 1re année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Dimension, sous-espaces et supplémentaires

• Trois dimensions à connaître
• Une base, par le cardinal
• Une somme directe dans ${\mathbb{R}}^3$
• Symétriques et antisymétriques

Applications linéaires et formule du rang

• Le noyau et l'image de la dérivation
• Noyau, image et rang d'une application de ${\mathbb{R}}^3$
• $A^3=A$ et somme directe
• Un endomorphisme de carré nul
• Le rang d'une composée

Projecteurs

• Un projecteur explicite
• D'une symétrie à un projecteur

Matrices, changement de base et polynômes annulateurs

• La matrice d'une translation de variable
• Une matrice de passage, et son inverse
• Une matrice de cube nul, et le binôme
• Un polynôme annulateur, l'inverse et les puissances

Dimension et familles

• Deux conditions en un point, et la base qui apparaît Exercice d'entraînement
• Compléter une famille libre en une base de ${\mathbb{R}}^4$ Exercice d'entraînement
• Un hyperplan de ${\mathbb{R}}_2[x]$, reconnu par sa dimension Exercice d'entraînement

Sommes, supplémentaires et projecteurs

• Un supplémentaire d'un hyperplan de ${\mathbb{R}}^4$ Exercice d'entraînement
• Deux plans de ${\mathbb{R}}^4$ : leur intersection, puis leur somme Exercice d'entraînement
• Le projecteur complémentaire Exercice d'entraînement

Noyau, image et rang

• Évaluer un polynôme en deux points Exercice d'entraînement
• Le rang d'une somme Exercice d'entraînement
• Deux applications qui se composent en l'identité Exercice d'entraînement

Matrices d'applications linéaires et rang

• La matrice de $P\mapsto P-P^{\prime }$ Exercice d'entraînement
• La matrice d'un projecteur dans une base adaptée Exercice d'entraînement
• Le rang d'une matrice, et les seconds membres possibles Exercice d'entraînement

Dimension et bases

• Une base d'un plan de ${\mathbb{R}}^3$ Exercice supplémentaire
• Libre ou liée ? Exercice supplémentaire
• Compléter une famille en une base Exercice supplémentaire

Applications linéaires, noyau et image

• Linéaire, ou pas Exercice supplémentaire
• Noyau et image d'une application de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^3$ Exercice supplémentaire
• Reconnaître un projecteur Exercice supplémentaire

Matrices et polynômes annulateurs

• Écrire une matrice, colonne par colonne Exercice supplémentaire
• Une relation qui livre l'inverse Exercice supplémentaire

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