Approcher ${\pi }^2/6$

from math import pi

def somme(n):
    return sum(1 / k**2 for k in range(1, n + 1))

exact = pi**2 / 6                       # 1.6449340668...
for n in (10, 100, 1000, 10000):
    print(n, somme(n), exact - somme(n))

Ce qu'on observe : l'écart vaut $9,5\times 10^{-2}$ pour $n=10$, puis $10^{-2}$, $10^{-3}$, $10^{-4}$ — il est divisé par $10$ quand $n$ l'est par $10$, donc il se comporte comme $\frac{1}{n}$.

Pourquoi $\frac{1}{n}$. Le reste vaut

$$R_n=\sum _{k>n}\frac{1}{k^2}\approx {\int }_n^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2}=\frac{1}{n}.$$

Plus précisément, la comparaison série-intégrale donne $\frac{1}{n+1}\le R_n\le \frac{1}{n}$.

Conséquence pratique : atteindre $10^{-6}$ demanderait un million de termes. Cette série converge, mais lentement — c'est le prix d'un exposant $2$ à peine supérieur à $1$. Euler, qui a le premier calculé cette somme, a dû employer de tout autres méthodes pour en obtenir des décimales.