Fréquences cumulées et fonction de répartition

import numpy as np
import numpy.random as rd

p = 0.3
for N in [100, 1000, 10000, 100000]:
    d = 0.0
    for r in range(30):        # 30 repetitions : un seul tirage fluctue trop
        X = rd.geometric(p, N)
        e = 0.0
        for k in range(1, 31):
            e = max(e, abs(np.mean(X <= k) - (1 - (1 - p) ** k)))
        d = d + e / 30
    print(N, d, d * np.sqrt(N))

La fonction de répartition vaut, pour tout entier $k\ge 1$,

$$F_X(k)=P(X\le k)=\sum _{j=1}^{k}p(1-p{)}^{j-1}=1-(1-p{)}^k,$$

par somme géométrique. C'est ce que calcule 1 - (1 - p) ** k, tandis que np.mean(X <= k) en donne la fréquence cumulée observée.

Les mesures, écart maximal moyenné sur $30$ répétitions : $0,059$ ; $0,017$ ; $0,0059$ ; $0,0019$. Chaque fois que $N$ est multiplié par $10$, l'écart est divisé par environ $3,2=\sqrt{10}$ : donc $\alpha =\frac{1}{2}$. La troisième colonne le confirme — $d\sqrt{N}$ reste entre $0,54$ et $0,61$, sans tendance.

Pourquoi $\frac{1}{2}$. À $k$ fixé, la fréquence cumulée est la moyenne de $N$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $F_X(k)$ : sa variance vaut $\frac{F_X(k)(1-F_X(k))}{N}$, donc son écart-type décroît en $\frac{1}{\sqrt{N}}$.

Le point délicat. Sans les $30$ répétitions, la troisième colonne saute de $0,38$ à $0,85$ et ne permet aucune conclusion : on mesurerait le hasard d'un tirage, pas la loi de l'écart. Moyenner est l'instrument.

Le point à retenir. La loi faible des grands nombres dit que l'écart tend vers $0$, pas à quelle vitesse. La mesure donne l'exposant — et $\frac{1}{2}$ est celui de toutes les méthodes de simulation.