L'escalier de la suite de Héron

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

f = lambda x: 0.5 * (x + 2 / x)

u = [2.0]
for _ in range(29):
    u.append(f(u[-1]))

fig, (g, d) = plt.subplots(1, 2)
g.plot(u, "o-"); g.axhline(2**0.5, ls="--"); g.set_xlabel("n")

x = np.linspace(1.2, 2.2, 200)
d.plot(x, f(x)); d.plot(x, x, ls="--")        # y = f(x) et la bissectrice
for n in range(4):                            # l'escalier
    d.plot([u[n], u[n]], [u[n], u[n+1]], "C1")
    d.plot([u[n], u[n+1]], [u[n+1], u[n+1]], "C1")
plt.show()

Ce qu'on voit à gauche : la suite s'écrase sur $\sqrt{2}$ en trois ou quatre termes, puis la courbe est plate. Les valeurs sont $2$, $1,5$, $1,41\overline{6}$, $1,4142157$, $1,4142136$, et ensuite plus rien ne bouge.

Ce qu'on voit à droite : l'escalier est écrasé contre le point fixe. C'est la signature d'une convergence quadratique — le nombre de décimales exactes double à chaque tour, et l'on atteint la précision machine au quatrième.

La raison : $f^{\prime }(\sqrt{2})=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{2}\right)=0$. Une convergence géométrique ordinaire correspond à $0<|f^{\prime }(\ell )|<1$ et donne un escalier régulier ; ici la dérivée s'annule et l'escalier s'effondre. C'est la méthode de Newton pour $x^2-2$.