L'ordre de convergence des rectangles

from math import exp, log

def rectangles(f, a, b, n):        # rectangles a gauche
    h = (b - a) / n
    return h * sum(f(a + i * h) for i in range(n))

f = lambda x: exp(-x * x)
exact = 0.746824132812427
err = {}
for n in (10, 100, 1000):
    err[n] = abs(rectangles(f, 0, 1, n) - exact)
    print(n, err[n])
print("alpha =", log(err[10] / err[1000]) / log(100))

Les erreurs : $3,10\times 10^{-2}$, $3,15\times 10^{-3}$, $3,16\times 10^{-4}$. Chaque fois que $n$ est multiplié par $10$, l'erreur est divisée par $10$.

L'exposant : la régression sur les logarithmes donne

$$\alpha =\frac{\ln (e_{10}/e_{1000})}{\ln 100}=1,00.$$

L'erreur se comporte donc comme $\frac{C}{n}$, avec $C\approx 0,316$.

D'où vient ce $1$. Sur chaque sous-intervalle, remplacer $f$ par sa valeur à gauche commet une erreur d'ordre $\frac{h^2}{2}|f^{\prime }|$ ; en sommant les $n$ morceaux on obtient un terme en $h=\frac{1}{n}$.

La comparaison qui compte. Les trapèzes, pour un coût quasi identique, donnent $\alpha =2$ : à $n=1000$ leur erreur est de $6\times 10^{-8}$, soit cinq mille fois mieux. Choisir la méthode pèse bien plus lourd que multiplier les points.