La binomiale converge-t-elle vers Poisson ?

from math import comb, exp, factorial

def ecart_max(n, lam=4, kmax=25):
    p = lam / n
    return max(
        abs(comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
            - exp(-lam) * lam**k / factorial(k))
        for k in range(min(n, kmax) + 1))

for n in (20, 100, 1000):
    print(n, ecart_max(n))

n = 20
while ecart_max(n) >= 0.005:
    n = n + 1
print("seuil :", n)

Les écarts maximaux : environ $1,1\times 10^{-2}$ pour $n=20$, $2,0\times 10^{-3}$ pour $n=100$, $2,0\times 10^{-4}$ pour $n=1000$. Ils sont divisés par $10$ quand $n$ l'est : l'écart se comporte comme $\frac{1}{n}$.

Le seuil demandé est atteint vers $n\approx 40$ : dès une quarantaine d'épreuves, la binomiale $\mathcal{B}(n,4/n)$ colle à $\mathcal{P}(4)$ à mieux que $5$ pour mille.

Ce qui compte dans l'approximation. Ce n'est pas $n$ grand seul, mais $n$ grand avec $np$ fixé, donc $p$ petit. C'est bien le régime des « événements rares » : beaucoup d'épreuves, chacune très improbable. Si l'on faisait croître $n$ à $p$ fixé, la binomiale s'étalerait et tendrait vers une gaussienne, pas vers une Poisson — deux limites différentes selon la façon de passer à l'infini.