mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 11 · Exercice d'entraînement

La ruine du joueur, prédite puis simulée

Informatique et algorithmique · Simulation et estimation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un joueur possède $a$ jetons, son adversaire $b$ . À chaque partie, il en gagne ou en perd un, avec la probabilité $\frac{1}{2}$ , jusqu'à ce que l'un des deux soit ruiné. Déterminer la probabilité de ruine du joueur et la durée moyenne du jeu, puis les contrôler par simulation pour $a = 5$ , $b = 10$ .

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Élève

Pour la probabilité de ruine du joueur, je ne vois pas comment faire un calcul direct : le nombre de parties n'est même pas borné.

Plutôt que de suivre toute la suite des parties, fais dépendre la probabilité de ruine de la fortune de départ : note $u_{x}$ la probabilité de ruine quand le joueur possède $x$ jetons. Que se passe-t-il après la première partie ?

Élève

Avec probabilité $\frac{1}{2}$ il a $x + 1$ jetons, avec probabilité $\frac{1}{2}$ il en a $x - 1$ , et le jeu repart comme au début. La formule des probabilités totales relie donc $u_{x}$ à $u_{x - 1}$ et $u_{x + 1}$ .

C'est l'idée. Pour quelles valeurs de $x$ cette relation est-elle valable, et que valent $u_{x}$ aux deux bords ? Que remarques-tu ensuite sur les différences $u_{x + 1} - u_{x}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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