La ruine du joueur, prédite puis simulée

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 11 — Informatique et algorithmique · Simulation et estimation

Énoncé

Un joueur possède $a$ jetons, son adversaire $b$ . À chaque partie, il en gagne ou en perd un, avec la probabilité $\frac{1}{2}$ , jusqu'à ce que l'un des deux soit ruiné. Déterminer la probabilité de ruine du joueur et la durée moyenne du jeu, puis les contrôler par simulation pour $a = 5$ , $b = 10$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Que les deux quantités sont solutions de récurrences linéaires d'ordre $2$ , et que la simulation valide les formules obtenues.

La probabilité de ruine. Notons $u_{x}$ la probabilité que le joueur soit ruiné lorsqu'il possède $x$ jetons, $0 \leq x \leq a + b$ . En conditionnant sur le résultat de la partie suivante (système complet à deux événements, de probabilité $\frac{1}{2}$ chacun) : $u_{x} = \frac{1}{2} u_{x - 1} + \frac{1}{2} u_{x + 1}, 1 \leq x \leq a + b - 1,$ avec les conditions aux bords $u_{0} = 1$ (déjà ruiné) et $u_{a + b} = 0$ (l'adversaire l'est).

La relation s'écrit $u_{x + 1} - u_{x} = u_{x} - u_{x - 1}$ : les accroissements sont constants, donc $(u_{x})$ est arithmétique, $u_{x} = u_{0} + x r$ . Les bords donnent $u_{0} = 1$ et $1 + (a + b) r = 0$ , d'où $r = - \frac{1}{a + b}$ et $u_{x} = 1 - \frac{x}{a + b}, donc P (ruine) = u_{a} = \frac{b}{a + b} .$

La durée moyenne. Notons $v_{x}$ la durée moyenne du jeu partant de $x$ jetons. Le même conditionnement, en comptant la partie qui vient d'être jouée : $v_{x} = 1 + \frac{1}{2} v_{x - 1} + \frac{1}{2} v_{x + 1}, v_{0} = v_{a + b} = 0.$ Posons $N = a + b$ et vérifions que $v_{x} = x (N - x)$ convient : $v_{x - 1} + v_{x + 1} = (x - 1) (N - x + 1) + (x + 1) (N - x - 1) = 2 x (N - x) - 2 = 2 v_{x} - 2,$ après développement, ce qui donne exactement $v_{x} = 1 + \frac{v _{x - 1} + v _{x + 1}}{2}$ . Les conditions aux bords sont satisfaites : $v_{0} = 0$ et $v_{N} = 0$ . Donc $E (dur e ˊ e) = v_{a} = a b .$

Les valeurs pour $a = 5$ , $b = 10$ . $P (ruine) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0, 667, E (dur e ˊ e) = 5 \times 10 = 50.$

Le programme.

import numpy as np
import numpy.random as rd

def une_partie(a, b):
    """Renvoie (ruine, duree) : ruine vaut 1 si le joueur perd tout."""
    fortune = a
    duree = 0
    while fortune > 0 and fortune < a + b:
        if rd.binomial(1, 0.5) == 1:
            fortune = fortune + 1
        else:
            fortune = fortune - 1
        duree = duree + 1
    if fortune == 0:
        ruine = 1
    else:
        ruine = 0
    return ruine, duree

a, b, M = 5, 10, 20000
R = np.zeros(M)
D = np.zeros(M)
for i in range(M):
    R[i], D[i] = une_partie(a, b)

print(np.mean(R), b / (a + b))     # ~0.667   0.6667
print(np.mean(D), a * b)           # ~50      50

Les ordres de grandeur. La fréquence de ruine sur $20000$ parties a pour écart-type $\frac{( 2/3 ) ( 1/3 )}{20 000} \approx 0, 0033$ : on attend une valeur entre $0, 660$ et $0, 674$ .

Le point à vérifier. La condition d'arrêt porte sur les deux bords : fortune > 0 and fortune < a + b. Oublier la seconde donnerait une boucle qui s'arrête encore, mais après un temps moyen infini.

Commentaire. Le joueur le plus pauvre est ruiné avec la probabilité $\frac{b}{a + b}$ , qui ne dépend que du rapport des fortunes. Face à un adversaire dix fois plus riche, la ruine survient dans dix cas sur onze, alors même que chaque partie est parfaitement équitable.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.