Le maximum de $n$ tirages

Ce qu'on montre. Que le maximum se traite par sa fonction de répartition — l'événement $[M\le k]$ se factorise, l'événement $[M=k]$ non — et que la simulation confirme le calcul.

La fonction de répartition. Notons $X_1,\dots ,X_5$ les tirages, indépendants et uniformes sur $[[1,10]]$. Pour $k\in [[1,10]]$, $$[M\le k]=[X_1\le k]\cap \cdots \cap [X_5\le k],$$ car le maximum est $\le k$ exactement lorsque tous les tirages le sont. Par indépendance, et puisque $P(X_i\le k)=\frac{k}{10}$ : $$P(M\le k)={\left(\frac{k}{10}\right)}^5.$$ On en déduit la loi ponctuelle : $P(M=k)=\frac{k^5-(k-1{)}^5}{10^5}$.

L'espérance par les queues. Comme $M$ est à valeurs dans $[[1,10]]\subset \mathbb{N}$, $$E(M)=\sum _{k=0}^{9}P(M>k)=\sum _{k=0}^9\left(1-{\left(\frac{k}{10}\right)}^5\right)=10-\frac{1}{10^5}\sum _{k=0}^9{k}^5.$$ Or ${\sum }_{k=1}^9{k}^5=1+32+243+1024+3125+7776+16807+32768+59049=120825$. Donc $$E(M)=10-\frac{120825}{100000}=10-1,20825=8,79175.$$

Le programme.

import numpy as np
import numpy.random as rd

N, n, T = 10, 5, 200000
tirages = rd.randint(1, N + 1, [T, n])   # entiers de 1 a 10 : borne haute exclue
M = np.max(tirages, axis=1)              # le maximum de chaque ligne

print(np.mean(M), 8.79175)
for k in range(1, N + 1):
    print(k, np.mean(M <= k), (k / N) ** n)

Les résultats attendus. La moyenne empirique doit approcher $8,792$, et chaque fréquence $\overline{[M\le k]}$ doit approcher ${\left(\frac{k}{10}\right)}^5$. Quelques valeurs théoriques : $$P(M\le 5)=0,03125,P(M\le 8)=0,32768,P(M\le 9)=0,59049.$$ En particulier $P(M=10)=1-0,59049=0,40951$ : dans plus de quatre cas sur dix, un $10$ apparaît parmi les cinq tirages.

Commentaire. L'espérance $8,79$ est très proche du maximum possible $10$, alors que chaque tirage vaut $5,5$ en moyenne. C'est le phénomène attendu : prendre le maximum de plusieurs variables déplace la masse vers le haut, d'autant plus que le nombre de tirages est grand. Pour $n=20$, la même formule donnerait $P(M\le 9)=0,9^{20}\approx 0,12$, donc $E(M)>9,8$.

Point délicat. L'événement $[M=k]$ ne se factorise pas : « le maximum vaut $k$ » impose qu'aucun tirage ne dépasse $k$ et qu'au moins un l'atteigne, condition qui n'est pas une intersection d'événements portant chacun sur un seul tirage. Passer par $[M\le k]$ est le seul chemin court.