Le rang, prédit par une intégrale, puis mesuré

Ce qu'on montre. Que la comparaison à une intégrale prédit le rang avant tout calcul, et que l'encadrement lui-même vaut mieux que le résultat qu'il contrôle.

L'encadrement du reste. La fonction $f:t\mapsto t^{-3/2}$ est continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty [$. Pour $k\ge 2$ : $${\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t\le f(k)\le {\int }_{k-1}^{k}f(t)\mathrm{d}t.$$ En sommant pour $k\ge n+1$ et en utilisant la relation de Chasles : $${\int }_{n+1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}\le R_n=\sum _{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k^{3/2}}\le {\int }_n^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}.$$ Or ${\int }_a^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}={\left[-\frac{2}{\sqrt{t}}\right]}_a^{+\infty }=\frac{2}{\sqrt{a}}$ (intégrale convergente, $\alpha =\frac{3}{2}>1$). D'où $$\frac{2}{\sqrt{n+1}}\le R_n\le \frac{2}{\sqrt{n}}.$$

Le rang prédit. Pour garantir $R_n\le 10^{-3}$, il suffit que $\frac{2}{\sqrt{n}}\le 10^{-3}$, soit $\sqrt{n}\ge 2000$, c'est-à-dire $$n\ge 4\cdot 10^6.$$ La convergence est lente : quatre millions de termes pour trois décimales.

Le programme.

import numpy as np

def somme_partielle(n):
    k = np.arange(1, n + 1)
    return np.sum(1.0 / k ** 1.5)

n = 4 * 10 ** 6
Sn = somme_partielle(n)
print(Sn)                                  # 2.6113753...
print(Sn + 2 / np.sqrt(n + 1), Sn + 2 / np.sqrt(n))

La mesure. On obtient $S_n\approx 2,611375$, et l'encadrement $$S_n+\frac{2}{\sqrt{n+1}}\le S\le S_n+\frac{2}{\sqrt{n}}$$ donne $2,6123753\le S\le 2,6123754$. La valeur exacte, connue par ailleurs, est $S\approx 2,6123753$ : l'encadrement la contient, et le rang prédit était correct.

L'encadrement vaut mieux que la somme. Comparons les deux qualités d'approximation :

• la somme partielle seule donne $2,6114$, à $10^{-3}$ de la vraie valeur — c'est ce que l'on a exigé ;
• l'encadrement a pour amplitude $$\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\frac{2}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\approx \frac{1}{n^{3/2}}\approx 1,25\cdot 10^{-10},$$ la quantité conjuguée ayant servi à lever la forme indéterminée. Sept décimales de plus, pour le même calcul.

Ce qu'il faut en retenir. Ajouter au résultat une estimation du reste coûte une ligne et gagne des ordres de grandeur : la comparaison à une intégrale ne sert pas qu'à décider d'une nature, elle corrige la somme partielle.