Le temps d'attente du double six

Ce qu'on montre. Qu'une attente se simule par une boucle while, et que la comparaison avec la loi géométrique du cours valide la simulation.

La loi théorique. Chaque lancer donne un double six avec la probabilité $\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$, indépendamment des autres. $T$ est le rang du premier succès : $$T\hookrightarrow \mathcal{G}\left(\frac{1}{36}\right),E(T)=36,V(T)=\frac{35/36}{(1/36{)}^2}=35\times 36=1260.$$ Et $P(T\le 25)=1-P(T>25)=1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^{25}\approx 1-0,4944=0,5056$.

Le programme.

import numpy as np
import numpy.random as rd

def attente_double_six():
    """rd.randint(1, 7) tire un entier de 1 a 6 : la borne haute est EXCLUE."""
    n = 0
    fini = False
    while not fini:
        n = n + 1
        if rd.randint(1, 7) == 6 and rd.randint(1, 7) == 6:
            fini = True
    return n

T = np.zeros(20000)
for i in range(20000):
    T[i] = attente_double_six()

print(np.mean(T), 36)
print(np.mean(T <= 25), 1 - (35 / 36) ** 25)

Les ordres de grandeur attendus. La moyenne empirique de $20000$ tirages a pour écart-type $$\frac{\sigma (T)}{\sqrt{20000}}=\frac{\sqrt{1260}}{141,4}\approx \frac{35,5}{141,4}\approx 0,25.$$ Un affichage entre $35,5$ et $36,5$ est donc normal ; une valeur de $30$ ou de $42$ signalerait une erreur de programme. Pour la fréquence, l'écart-type est $\sqrt{\frac{0,5\times 0,5}{20000}}\approx 0,0035$ : on attend une valeur voisine de $0,506$ à quelques millièmes près.

Le point à vérifier dans le code. rd.randint(1, 7) tire un entier de $1$ à $6$, la borne haute étant exclue. Écrire rd.randint(1, 6) ne produirait jamais de $6$ : la boucle ne s'arrêterait jamais. C'est l'erreur qu'il faut chercher en premier si le programme paraît figé.

Un contrôle supplémentaire. La fréquence de $[T\le 36]$ doit valoir environ $1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^{36}\approx 0,637$ : il y a moins de deux chances sur trois d'avoir vu un double six au bout de $36$ lancers, alors que $36$ est l'espérance. C'est la signature d'une loi très dissymétrique.