Quand la cloche apparaît-elle ?

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import comb, sqrt, pi, exp

def comparer(n, p, ax):
    mu, sigma = n * p, sqrt(n * p * (1 - p))
    ks = range(n + 1)
    proba = [comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k) for k in ks]
    ax.bar(list(ks), proba, width=0.9)
    x = np.linspace(max(0, mu - 4*sigma), mu + 4*sigma, 300)
    ax.plot(x, np.exp(-(x - mu)**2 / (2*sigma**2)) / (sigma*sqrt(2*pi)), "C1")
    ax.set_title("n=" + str(n) + ", p=" + str(p))

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 3))
for (n, p), ax in zip([(30, 0.5), (30, 0.02), (2000, 0.02)], axes):
    comparer(n, p, ax)
plt.show()

Ce qu'on observe.

$(n,p)=(30;0,5)$ : l'accord est excellent malgré un $n$ modeste. La loi est symétrique, $\sigma =2,74$, et la cloche passe par tous les sommets.

$(30;0,02)$ : l'accord est mauvais. Avec $np=0,6$, la distribution est écrasée contre $0$ et fortement dissymétrique ; la gaussienne, elle, déborde dans les valeurs négatives, qui n'ont aucun sens. C'est le régime de Poisson, pas celui de Gauss.

$(2000;0,02)$ : l'accord redevient bon. Ici $np=40$ et $\sigma =6,26$ : la dissymétrie s'est résorbée.

La réponse. Un grand $n$ ne suffit pas. Ce qui compte est que $np$ et $n(1-p)$ soient tous deux assez grands — la règle usuelle demande au moins $5$ ou $10$. Autrement dit, il faut que la distribution ait la place de s'étaler des deux côtés de sa moyenne sans buter sur $0$ ou sur $n$.

Deux limites, deux régimes : à $p$ fixé et $n\to \infty$, on tend vers Gauss ; à $np$ fixé et $n\to \infty$, on tend vers Poisson. C'est la façon de passer à l'infini qui décide, pas $n$ seul.