Tchebychev, mis à l'épreuve

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 11 — Informatique et algorithmique · Fréquences, convergences et loi de Gauss

Énoncé

Vérifier l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev par simulation sur $B (n; 0, 3)$ : comparer la fréquence observée de $∣ X_{n} - p ∣ \geq ε$ à la borne $\frac{p ( 1 - p )}{n ε ^{2}}$ . La borne est-elle serrée ?

Corrigé


import numpy.random as rd

def experience(n, p=0.3, eps=0.05, repetitions=20000):
    depassements = 0
    for _ in range(repetitions):
        moyenne = sum(1 if rd.random() < p else 0 for _ in range(n)) / n
        if abs(moyenne - p) >= eps:
            depassements += 1
    borne = p * (1 - p) / (n * eps**2)
    return depassements / repetitions, borne

for n in (50, 100, 500, 1000):
    obs, borne = experience(n)
    print(n, round(obs, 4), round(borne, 4), round(borne / max(obs, 1e-9), 1))

Les résultats, pour $ε = 0, 05$ :

$n 501005001000 observ e ˊ 0, 44 0, 33 0, 017 0, 0006 borne 1, 68 0, 84 0, 168 0, 084 rapport 3, 8 2, 6 10133$

L'inégalité est toujours vérifiée — c'est bien le minimum qu'on attende d'un théorème. Mais la borne est très lâche, et de plus en plus : pour $n = 50$ elle dépasse même $1$ , ce qui ne dit rigoureusement rien.

Pourquoi. Tchebychev n'utilise que la variance et vaut pour toutes les lois de même variance, y compris les plus défavorables. La vraie décroissance est exponentielle en $n$ (comme le donnent le théorème central limite ou les inégalités de Hoeffding), là où la borne ne décroît qu'en $\frac{1}{n}$ .

À quoi elle sert malgré tout : à démontrer la loi faible des grands nombres. La borne tend vers $0$ , et c'est tout ce qu'il faut ; sa finesse n'entre pas dans l'argument.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.