Un dé, une pièce, et deux fréquences

Ce qu'on montre. Que la fréquence observée approche la probabilité — c'est la loi faible des grands nombres à l'œuvre — et que la comparaison est le contrôle systématique de toute simulation.

Le programme.

import numpy as np
import numpy.random as rd

N = 10 ** 5
de = rd.randint(1, 7, N)          # entiers de 1 a 6 : la borne 7 est EXCLUE
piece = rd.binomial(1, 0.5, N)    # 0 ou 1, avec la probabilite 1/2

print(np.mean(de == 6), 1 / 6)    # ~0.1667   0.16667
print(np.mean(piece), 0.5)        # ~0.500    0.5
print(np.mean(de), 3.5)           # ~3.50     3.5

Les résultats attendus.

• np.mean(de == 6) est la fréquence des $6$ : elle doit approcher $\frac{1}{6}\approx 0,1667$.
• np.mean(piece) est la fréquence des $1$, c'est-à-dire de pile : elle doit approcher $0,5$.
• np.mean(de) est la moyenne des faces : elle doit approcher $E=\frac{1+2+\cdots +6}{6}=3,5$.

L'ordre de grandeur de l'écart. Pour la fréquence du $6$, la variable indicatrice a pour variance $\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}\approx 0,139$ ; la fréquence sur $N=10^5$ tirages a donc pour écart-type $\sqrt{0,139/10^5}\approx 1,2\cdot 10^{-3}$. Un affichage entre $0,163$ et $0,170$ est normal ; une valeur de $0,12$ ou de $0,20$ signalerait un défaut du programme.

Point délicat. rd.randint(1, 7, N) : la borne haute est exclue. Écrire rd.randint(1, 6, N) ne produirait jamais de $6$, et la fréquence affichée serait $0$ — sans le moindre message d'erreur. C'est la première chose à vérifier quand une simulation donne une fréquence nulle.

La moyenne d'un tableau de booléens. de == 6 produit un tableau de True/False, comptés comme $1$ et $0$ : leur moyenne est la fréquence. C'est l'idiome à retenir pour estimer toute probabilité.