Un rang d'arrêt qu'aucune formule ne donne

Ce qu'on montre. Qu'une boucle while est le bon outil quand le nombre d'itérations n'est pas connu d'avance — et que sa terminaison se démontre, elle ne se constate pas.

Le programme.

def rang_depassement(S):
    """Plus petit n tel que 1 + 1/2 + ... + 1/n depasse S."""
    n = 0
    somme = 0.0
    while somme <= S:      # on s'arrete des que le seuil est franchi
        n = n + 1
        somme = somme + 1 / n
    return n

print(rang_depassement(5))    # 83
print(rang_depassement(10))   # 12367

La terminaison. À la sortie de chaque tour, la variable somme contient $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$. La série harmonique diverge : $H_n\to +\infty$. Il existe donc un rang à partir duquel $H_n>S$, et la condition somme <= S devient fausse : la boucle s'arrête. C'est bien la divergence, et rien d'autre, qui garantit l'arrêt — si l'on remplaçait $\frac{1}{k}$ par $\frac{1}{k^2}$, la boucle tournerait indéfiniment pour tout $S\ge \frac{{\pi }^2}{6}$.

Les résultats. Le programme donne $n=83$ pour $S=5$ et $n=12367$ pour $S=10$.

Ce que ces deux nombres racontent. Passer de $S=5$ à $S=10$ multiplie le rang par près de $150$. C'est cohérent avec l'encadrement classique $H_n\approx \ln n$ : franchir $S$ demande $n$ de l'ordre de ${\mathrm{e}}^S$, et $\frac{{\mathrm{e}}^{10}}{{\mathrm{e}}^5}={\mathrm{e}}^5\approx 148$. La croissance est exponentielle en $S$ : pour $S=20$, il faudrait environ $2,7\cdot 10^8$ termes.

Point délicat. L'accumulation se fait en flottants, et les termes ajoutés deviennent minuscules devant la somme courante. Pour de grands $S$, l'addition finit par ne plus rien changer et le programme boucle sans fin — non par un défaut de mathématiques, mais par un défaut d'arithmétique. Un critère d'arrêt purement numérique doit toujours être confronté à la précision de la machine.