Exercices corrigés — Compléments d'algèbre linéaire (mathématiques approfondies (ECG 2e année))

35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

Sommes directes

• Somme directe, ou pas
• Deux plans de l'espace
• Trois droites du plan
• Une base adaptée de l'espace de dimension quatre
• Deux sous-espaces de polynômes
• Concaténation et liberté
• Symétriques et antisymétriques

Changement de base et matrices semblables

• Une matrice de passage
• Un endomorphisme vu depuis une autre base
• Trois couples, une seule question
• Semblables, vraiment ?

Trace d'une matrice

• Une trace qui ne bouge pas
• Trace et transposée
• Une trace imposée
• Deux traces pour trois valeurs propres

Sommes de sous-espaces

• Un hyperplan et une droite de ${\mathbb{R}}^4$ Exercice d'entraînement
• Triangulaires supérieures et strictement inférieures Exercice d'entraînement
• Polynômes pairs et polynômes impairs Exercice d'entraînement

Changement de base

• Une matrice de passage en dimension trois Exercice d'entraînement
• Un endomorphisme qui devient diagonal Exercice d'entraînement
• Deux bases de ${\mathbb{R}}_2[x]$ et la dérivation Exercice d'entraînement

Trace

• Les matrices de trace nulle forment un hyperplan Exercice d'entraînement
• Aucun couple de matrices ne réalise $AB-BA=I_n$ Exercice d'entraînement
• Semblable à son double Exercice d'entraînement
• La trace d'un produit de trois matrices Exercice d'entraînement

Sous-espaces stables et recollement

• Une décomposition qui rend la matrice diagonale par blocs Exercice d'entraînement
• Recoller deux applications linéaires Exercice d'entraînement

Somme et intersection

• Deux droites de ${\mathbb{R}}^3$ Exercice supplémentaire
• Quand les deux sous-espaces sont confondus Exercice supplémentaire
• Un plan et une droite de ${\mathbb{R}}^3$ Exercice supplémentaire

Matrice de passage

• Écrire une matrice de passage et son inverse Exercice supplémentaire
• Retrouver les coordonnées dans une nouvelle base Exercice supplémentaire
• Deux matrices semblables, et leur trace Exercice supplémentaire

Calculs de trace

• Linéarité de la trace et commutation sous la trace Exercice supplémentaire
• Trace d'une matrice triangulaire et de son carré Exercice supplémentaire

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