Compléments d'algèbre linéaire

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 1 · prépa ECG, 2e année

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La première année a installé les espaces vectoriels, les applications linéaires et leurs matrices. Il manque trois outils, tous les trois modestes, et tous les trois indispensables à la réduction du chapitre 3.

Le premier est la somme directe : une façon de découper un espace en morceaux qui ne se recouvrent pas, et dont les bases se recollent bout à bout. Le deuxième est le changement de base : un même vecteur, un même endomorphisme, vus depuis deux repères différents — et la formule qui traduit l'un dans l'autre. Le troisième est la trace, une quantité qui se lit en une seconde sur une matrice et qui, contre toute attente, ne change pas quand on change de base.

AttentionCe chapitre est un chapitre d'outils

Aucune des trois notions n'est une fin en soi. La somme directe servira à dire qu'un endomorphisme est diagonalisable ; le changement de base, à passer d'une matrice quelconque à une matrice diagonale ; la trace, à trouver la valeur propre qui manque. Le programme est d'ailleurs formel sur ce dernier point : « tout développement théorique est exclu ».

1.1 Somme et somme directe de sous-espaces

1.1.1 La somme de deux sous-espaces

Définition 1.1Somme de sous-espaces

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ . Leur somme est

$F + G = {u + v ∣ u \in F, v \in G} .$

C'est un sous-espace vectoriel de $E$ ; c'est même le plus petit sous-espace contenant à la fois $F$ et $G$ .

AttentionSomme et réunion n'ont rien à voir

$F \cup G$ n'est en général pas un sous-espace vectoriel : la somme de deux de ses éléments peut en sortir. $F + G$ , lui, en est toujours un — c'est précisément ce qu'on obtient en ajoutant à $F \cup G$ tout ce qui manque pour retrouver la stabilité.

Définition 1.2Somme directe

La somme $F + G$ est directe lorsque tout vecteur $w$ de $F + G$ s'écrit d'une unique façon $w = u + v$ avec $u \in F$ et $v \in G$ . On la note alors $F \oplus G$ .

◆Théorème 1.3Caractérisation par l'intersection

La somme $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = {0_{E}}$ .

Démonstration

Supposons la somme directe et soit $w \in F \cap G$ . Alors $w$ admet les deux écritures $w = w + 0$ (avec $w \in F$ , $0 \in G$ ) et $w = 0 + w$ . L'unicité impose $w = 0$ .

Réciproquement, supposons $F \cap G = {0_{E}}$ et soit $u + v = u^{'} + v^{'}$ avec $u, u^{'} \in F$ et $v, v^{'} \in G$ . Alors $u - u^{'} = v^{'} - v$ . Ce vecteur appartient à $F$ (membre de gauche) et à $G$ (membre de droite), donc à l'intersection : il est nul. D'où $u = u^{'}$ et $v = v^{'}$ .

Exemple 1.4Deux droites, un plan

Dans $R^{2}$ , soient $F = Vect ((1, 0))$ et $G = Vect ((1, 1))$ . Un vecteur de $F \cap G$ s'écrit $λ (1, 0) = μ (1, 1)$ , d'où $μ = 0$ par la seconde coordonnée, puis $λ = 0$ . L'intersection est réduite à ${0}$ : la somme est directe, et comme $dim F + dim G = 2 = dim R^{2}$ , on a $F \oplus G = R^{2}$ .

1.1.2 Somme directe de $k$ sous-espaces, et dimension

Définition 1.5Somme directe de

k

sous-espaces

Soient $F_{1}, \dots, F_{k}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ . Leur somme $F_{1} + \dots + F_{k}$ est directe lorsque tout vecteur de cette somme s'écrit d'une unique façon $u_{1} + \dots + u_{k}$ avec $u_{i} \in F_{i}$ . On la note alors $F_{1} \oplus \dots \oplus F_{k}$ .

AttentionDeux à deux ne suffit pas

Pour $k ⩾ 3$ , il ne suffit pas que les $F_{i}$ soient deux à deux d'intersection nulle. Dans $R^{2}$ , les trois droites $Vect ((1, 0))$ , $Vect ((0, 1))$ et $Vect ((1, 1))$ se coupent deux à deux en ${0}$ , pourtant

$(1, 1) = (1, 0) + (0, 1) et (1, 1) = 0 + 0 + (1, 1) :$

deux écritures du même vecteur. La somme n'est pas directe.

◆Théorème 1.6Dimension d'une somme directe

Si la somme $F_{1} + \dots + F_{k}$ est directe, alors

$dim (F_{1} \oplus \dots \oplus F_{k}) = dim (F_{1}) + \dots + dim (F_{k}) .$

◆Théorème 1.7Concaténation des bases, base adaptée

Soient $F_{1}, \dots, F_{k}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ , et pour chaque $i$ soit $B_{i}$ une base de $F_{i}$ . Alors la somme est directe si et seulement si la famille obtenue en concaténant $B_{1}, \dots, B_{k}$ est libre. Dans ce cas, cette concaténation est une base de $F_{1} \oplus \dots \oplus F_{k}$ ; on l'appelle une base adaptée à la décomposition.

Exemple 1.8Une base adaptée dans

R^{3}

Soient $F = Vect ((1, 0, 0), (0, 1, 0))$ et $G = Vect ((0, 0, 1))$ . La concaténation $((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))$ est la base canonique de $R^{3}$ : elle est libre. La somme est donc directe, $F \oplus G = R^{3}$ , et $2 + 1 = 3 = dim R^{3}$ .

1.2 Changement de base

1.2.1 Matrice de passage

Définition 1.9Matrice de passage

Soient $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ et $B^{'} = (e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'})$ deux bases de $E$ . La matrice de passage de $B$ à $B^{'}$ , notée $P_{B, B^{'}}$ , est la matrice dont la $j$ -ème colonne est la colonne des coordonnées de $e_{j}^{'}$ dans la base $B$ .

ImportantLe sens qui trompe

On lit « passage de $B$ à $B^{'}$ », mais ce sont les vecteurs de la nouvelle base $B^{'}$ qu'on écrit en colonnes, et dans l'ancienne base $B$ . Une seule phrase à retenir : les colonnes de $P$ sont les nouveaux vecteurs, écrits à l'ancienne.

Proposition 1.10Inversibilité

$P_{B, B^{'}}$ est inversible, et

$(P_{B, B^{'}})^{- 1} = P_{B^{'}, B} .$

◆Théorème 1.11Formules de changement de base

Soient $B$ et $B^{'}$ deux bases de $E$ , et $P = P_{B, B^{'}}$ .

Pour tout vecteur $u$ de $E$ , de colonnes $X_{B}$ et $X_{B^{'}}$ dans les deux bases :

$X_{B} = P X_{B^{'}} .$

Pour tout endomorphisme $f$ de $E$ :

$Mat_{B^{'}} (f) = P^{- 1} Mat_{B} (f) P .$

AttentionLe sens de la première formule surprend

$P$ est la matrice de passage vers $B^{'}$ , et pourtant elle transforme les coordonnées nouvelles en coordonnées anciennes. Il n'y a pas d'erreur : $P$ contient les nouveaux vecteurs écrits à l'ancienne, donc la multiplier par des coordonnées nouvelles reconstitue l'ancienne colonne.

Exemple 1.12Un changement de base explicite

Dans $R^{2}$ , soit $B$ la base canonique et $B^{'} = ((1, 1), (1, - 1))$ . Alors

$P = (11 1 - 1), P^{- 1} = \frac{1}{2} (11 1 - 1) .$

Le vecteur $u$ de coordonnées $X_{B^{'}} =^{t} (3, 1)$ dans $B^{'}$ a pour coordonnées, dans la base canonique, $X_{B} = P X_{B^{'}} =^{t} (4, 2)$ . On vérifie directement : $3 (1, 1) + 1 (1, - 1) = (4, 2)$ .

1.2.2 Matrices semblables

Définition 1.13Matrices semblables

Deux matrices carrées $A$ et $B$ de $M_{n} (R)$ sont semblables lorsqu'il existe une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{- 1} A P$ .

◆Théorème 1.14Interprétation

Deux matrices carrées sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.

ImportantTout le chapitre 3 tient dans cette phrase

Diagonaliser une matrice $A$ , ce sera exactement : trouver une base dans laquelle l'endomorphisme représenté par $A$ a une matrice diagonale. La question « $A$ est-elle diagonalisable ? » devient « $A$ est-elle semblable à une matrice diagonale ? ».

1.3 Trace d'une matrice carrée

Définition 1.15Trace

La trace d'une matrice carrée $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)$ est la somme de ses coefficients diagonaux :

$Tr (A) = i = 1 \sum n a_{i, i} .$

Proposition 1.16Propriétés

Soient $A, B \in M_{n} (R)$ et $λ, μ \in R$ .

Linéarité : $Tr (λ A + μ B) = λ Tr (A) + μ Tr (B)$ .
$Tr (^{t} A) = Tr (A)$ .
Commutation sous la trace : $Tr (A B) = Tr (B A)$ .

Démonstration

Seul le point 3 demande un calcul. Le coefficient diagonal d'indice $i$ de $A B$ vaut $\sum_{k} a_{i, k} b_{k, i}$ , donc

$Tr (A B) = i = 1 \sum n k = 1 \sum n a_{i, k} b_{k, i} .$

De même $Tr (B A) = \sum_{k} \sum_{i} b_{k, i} a_{i, k}$ . Les deux sommes portent sur les mêmes $n^{2}$ produits $a_{i, k} b_{k, i}$ : elles sont égales.

Attention

Tr (A B) = Tr (B A)

ne dit pas

A B = B A

La trace du produit ne dépend pas de l'ordre, le produit si. Avec $A = (0010)$ et $B = (0100)$ , on a $A B = (1000)$ et $B A = (0001)$ : deux matrices différentes, de trace $1$ toutes les deux.

◆Théorème 1.17Invariance par changement de base

Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $Tr (A) = Tr (B)$ . Autrement dit, pour toute matrice inversible $P$ ,

$Tr (P^{- 1} A P) = Tr (A) .$

Démonstration

En appliquant $Tr (X Y) = Tr (Y X)$ avec $X = P^{- 1}$ et $Y = A P$ :

$Tr (P^{- 1} (A P)) = Tr ((A P) P^{- 1}) = Tr (A (P P^{- 1})) = Tr (A) .$

ImportantÀ quoi sert vraiment la trace

Elle donne une équation gratuite. Au chapitre 3, si l'on sait qu'une matrice $3 \times 3$ est diagonalisable et que deux de ses valeurs propres valent $1$ et $2$ , la trace donne la troisième sans aucun calcul supplémentaire : la somme des valeurs propres, comptées avec leur multiplicité, vaut $Tr (A)$ .

AttentionLe programme s'arrête là

Le programme est explicite : « la trace d'une matrice carrée est introduite uniquement comme outil simple et efficace en vue de la recherche de valeurs propres. Tout développement théorique est exclu. Aucun autre résultat concernant la trace n'est au programme. » Il n'y a donc rien d'autre à savoir — ni forme bilinéaire, ni dualité, ni caractérisation des commutateurs.

Python : Trace, similitude, et une vérification


import numpy as np

A = np.array([[3., 1.], [0., 2.]])
P = np.array([[1., 1.], [-1., 0.]])          # une matrice inversible
B = np.linalg.inv(P) @ A @ P                 # B est semblable a A

print(np.trace(A), np.trace(B))              # 5.0 5.0  <- invariance
print(np.trace(A @ B), np.trace(B @ A))      # egaux, alors que...
print(np.allclose(A @ B, B @ A))             # False

Les deux dernières lignes disent tout le paragraphe : la trace du produit ne dépend pas de l'ordre, le produit lui-même en dépend.

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Compléments d'algèbre linéaire

1.1 Somme et somme directe de sous-espaces

1.1.1 La somme de deux sous-espaces

1.1.2 Somme directe de k sous-espaces, et dimension

1.2 Changement de base

1.2.1 Matrice de passage

1.2.2 Matrices semblables

1.3 Trace d'une matrice carrée

Python : Trace, similitude, et une vérification

1.1.2 Somme directe de $k$ sous-espaces, et dimension