Compléments d'algèbre linéaire

Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 1 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une application linéaire transforme un quadrillage en un quadrillage de parallélogrammes : les images de e1 et e2 suffisent à la décrire.

La première année a installé les espaces vectoriels, les applications linéaires et leurs matrices. Il manque trois outils, tous les trois modestes, et tous les trois indispensables à la réduction du chapitre 3.

Le premier est la somme directe : une façon de découper un espace en morceaux qui ne se recouvrent pas, et dont les bases se recollent bout à bout. Le deuxième est le changement de base : un même vecteur, un même endomorphisme, vus depuis deux repères différents — et la formule qui traduit l'un dans l'autre. Le troisième est la trace, une quantité qui se lit en une seconde sur une matrice et qui, contre toute attente, ne change pas quand on change de base.

AttentionCe chapitre est un chapitre d'outils

Aucune des trois notions n'est une fin en soi. La somme directe servira à dire qu'un endomorphisme est diagonalisable ; le changement de base, à passer d'une matrice quelconque à une matrice diagonale ; la trace, à trouver la valeur propre qui manque. Le programme est d'ailleurs formel sur ce dernier point : « tout développement théorique est exclu ».

1.1 Somme et somme directe de sous-espaces

1.1.1 La somme de deux sous-espaces

Définition 1.1Somme de sous-espaces

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ . Leur somme est

$F + G = {u + v ∣ u \in F, v \in G} .$

C'est un sous-espace vectoriel de $E$ ; c'est même le plus petit sous-espace contenant à la fois $F$ et $G$ .

AttentionSomme et réunion n'ont rien à voir

$F \cup G$ n'est en général pas un sous-espace vectoriel : la somme de deux de ses éléments peut en sortir. $F + G$ , lui, en est toujours un — c'est précisément ce qu'on obtient en ajoutant à $F \cup G$ tout ce qui manque pour retrouver la stabilité.

Définition 1.2Somme directe

La somme $F + G$ est directe lorsque tout vecteur $w$ de $F + G$ s'écrit d'une unique façon $w = u + v$ avec $u \in F$ et $v \in G$ . On la note alors $F \oplus G$ .

◆Théorème 1.3Caractérisation par l'intersection

La somme $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = {0_{E}}$ .

Démonstration

Supposons la somme directe et soit $w \in F \cap G$ . Alors $w$ admet les deux écritures $w = w + 0$ (avec $w \in F$ , $0 \in G$ ) et $w = 0 + w$ . L'unicité impose $w = 0$ .

Réciproquement, supposons $F \cap G = {0_{E}}$ et soit $u + v = u^{'} + v^{'}$ avec $u, u^{'} \in F$ et $v, v^{'} \in G$ . Alors $u - u^{'} = v^{'} - v$ . Ce vecteur appartient à $F$ (membre de gauche) et à $G$ (membre de droite), donc à l'intersection : il est nul. D'où $u = u^{'}$ et $v = v^{'}$ .

Exemple 1.4Deux droites, un plan

Dans $R^{2}$ , soient $F = Vect ((1, 0))$ et $G = Vect ((1, 1))$ . Un vecteur de $F \cap G$ s'écrit $λ (1, 0) = μ (1, 1)$ , d'où $μ = 0$ par la seconde coordonnée, puis $λ = 0$ . L'intersection est réduite à ${0}$ : la somme est directe, et comme $dim F + dim G = 2 = dim R^{2}$ , on a $F \oplus G = R^{2}$ .

1.1.2 Somme directe de $k$ sous-espaces, et dimension

Définition 1.5Somme directe de

k

sous-espaces

Soient $F_{1}, \dots, F_{k}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ . Leur somme $F_{1} + \dots + F_{k}$ est directe lorsque tout vecteur de cette somme s'écrit d'une unique façon $u_{1} + \dots + u_{k}$ avec $u_{i} \in F_{i}$ . On la note alors $F_{1} \oplus \dots \oplus F_{k}$ .

Exercices du chapitre

Somme directe, ou pas corrigé
Deux plans de l'espace corrigé
Trois droites du plan corrigé
Une base adaptée de l'espace de dimension quatre corrigé
Deux sous-espaces de polynômes corrigé
Concaténation et liberté corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Compléments d'algèbre linéaire

1.1 Somme et somme directe de sous-espaces

1.1.1 La somme de deux sous-espaces

1.1.2 Somme directe de k sous-espaces, et dimension

Exercices du chapitre

1.1.2 Somme directe de $k$ sous-espaces, et dimension