Éléments propres et polynômes annulateurs

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 · prépa ECG, 2e année

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Un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ agit sur une infinité de vecteurs, et il les mélange. Sauf sur certaines directions, qu'il se contente de dilater : un vecteur porté par une telle direction reste porté par elle, seule sa longueur change. Ces directions sont les directions propres, et le facteur de dilatation est la valeur propre.

Ce chapitre les définit, montre comment les chercher — sans jamais recourir au déterminant, hors programme ici — et établit la propriété qui rend tout le chapitre 3 possible : des directions propres associées à des valeurs propres distinctes sont indépendantes.

AttentionComment on cherche une valeur propre en ECG

Le déterminant et le polynôme caractéristique ne figurent pas au programme de l'option approfondie : le mot « déterminant » n'apparaît pas une seule fois dans les programmes des deux années. Une valeur propre se cherche donc par un polynôme annulateur, par lecture directe sur une matrice triangulaire, ou par l'étude du rang de $f - λ Id_{E}$ . Ce chapitre installe le premier de ces trois outils.

2.1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

2.1.1 Définitions

Définition 2.1Éléments propres d'un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ . Un réel $λ$ est une valeur propre de $f$ lorsqu'il existe un vecteur $x \in E$ non nul tel que

$f (x) = λ x .$

Un tel vecteur $x$ est un vecteur propre de $f$ associé à $λ$ , et l'ensemble

$E_{λ} (f) = ker (f - λ Id_{E})$

est le sous-espace propre associé à $λ$ . L'ensemble des valeurs propres de $f$ est son spectre, noté $Sp (f)$ .

Définition 2.2Éléments propres d'une matrice

Les mêmes définitions valent pour $A \in M_{n} (R)$ , en remplaçant $f (x)$ par $A X$ et $Id_{E}$ par $I_{n}$ . Si $A$ est la matrice de $f$ dans une base $B$ , alors $Sp (f) = Sp (A)$ , et $x$ est vecteur propre de $f$ si et seulement si sa colonne $X$ dans $B$ est vecteur propre de $A$ pour la même valeur propre.

AttentionLe vecteur nul n'est jamais propre

$f (0_{E}) = λ \cdot 0_{E}$ pour tout réel $λ$ : l'admettre ferait de tout réel une valeur propre. D'où l'exigence $x \neq = 0$ . En revanche $0_{E}$ appartient toujours à $E_{λ} (f)$ , qui est un noyau, donc un sous-espace vectoriel.

◆Théorème 2.3Valeurs propres d'une matrice triangulaire

Si $A \in M_{n} (R)$ est triangulaire, alors

$Sp (A) = {a_{1, 1}, a_{2, 2}, \dots, a_{n, n}} .$

Démonstration

$A - λ I_{n}$ est encore triangulaire, de coefficients diagonaux $a_{i, i} - λ$ . Or une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Donc $A - λ I_{n}$ est non inversible — c'est-à-dire $λ$ est valeur propre — exactement lorsque $λ$ coïncide avec l'un des $a_{i, i}$ .

2.1.2 Images des éléments propres par un polynôme

Définition 2.4Polynôme d'un endomorphisme

Pour $Q = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{p} x^{p}$ , on pose

$Q (f) = a_{0} Id_{E} + a_{1} f + \dots + a_{p} f^{p}, Q (A) = a_{0} I_{n} + a_{1} A + \dots + a_{p} A^{p},$

où $f^{k}$ désigne la composée $f \circ \dots \circ f$ ( $k$ fois).

◆Théorème 2.5Le transport des éléments propres

Soit $x$ un vecteur propre de $f$ associé à $λ$ , et $Q$ un polynôme. Alors $x$ est vecteur propre de $Q (f)$ , associé à $Q (λ)$ :

$f (x) = λ x ⟹ Q (f) (x) = Q (λ) x .$

De même, $A X = λ X$ entraîne $Q (A) X = Q (λ) X$ .

Démonstration

Montrons d'abord $f^{k} (x) = λ^{k} x$ par récurrence. C'est vrai pour $k = 0$ . Et si $f^{k} (x) = λ^{k} x$ , alors $f^{k + 1} (x) = f (λ^{k} x) = λ^{k} f (x) = λ^{k + 1} x$ . Par linéarité,

$Q (f) (x) = k = 0 \sum p a_{k} f^{k} (x) = k = 0 \sum p a_{k} λ^{k} x = Q (λ) x .∎$

2.2 Polynômes annulateurs

2.2.1 Définition et existence

Définition 2.6Polynôme annulateur

Un polynôme $Q$ est annulateur de $f$ (respectivement de $A$ ) lorsque $Q (f) = 0$ (respectivement $Q (A) = 0$ ).

◆Théorème 2.7Existence

Tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul. Il en va de même pour toute matrice carrée.

Démonstration

Soit $dim (E) = n$ . L'espace $L (E)$ des endomorphismes de $E$ est de dimension $n^{2}$ , puisqu'il s'identifie à $M_{n} (R)$ . La famille

$(Id_{E}, f, f^{2}, \dots, f^{n^{2}})$

compte $n^{2} + 1$ éléments dans un espace de dimension $n^{2}$ : elle est nécessairement liée. Il existe donc des réels $a_{0}, \dots, a_{n^{2}}$ non tous nuls tels que $\sum a_{k} f^{k} = 0$ , c'est-à-dire $Q (f) = 0$ avec $Q = \sum a_{k} x^{k}$ non nul.

iRemarqueCe que le programme n'attend pas

Le programme est net : « aucune autre connaissance sur les polynômes annulateurs ne figure au programme ». Il n'y a donc ni polynôme minimal, ni théorème de Cayley-Hamilton, ni décomposition des noyaux. En pratique, un polynôme annulateur est presque toujours donné par l'énoncé — ou se lit sur une relation du type $f^{2} = f$ .

2.2.2 Ce qu'un polynôme annulateur apprend

◆Théorème 2.8Les valeurs propres sont parmi les racines

Si $Q$ est un polynôme annulateur de $f$ , alors toute valeur propre de $f$ est racine de $Q$ :

$Sp (f) \subset {racines de Q} .$

Démonstration

Soit $λ \in Sp (f)$ et $x \neq = 0$ tel que $f (x) = λ x$ . Par le théorème de transport, $Q (f) (x) = Q (λ) x$ . Or $Q (f) = 0$ , donc $Q (λ) x = 0_{E}$ avec $x \neq = 0_{E}$ : nécessairement $Q (λ) = 0$ .

AttentionL'inclusion est stricte en général

Une racine de $Q$ n'a aucune raison d'être valeur propre. Pour $f = Id_{E}$ , le polynôme $Q = (x - 1) (x - 7)$ est annulateur, et pourtant $7 \in / Sp (f) = {1}$ . Un polynôme annulateur fournit une liste de candidats, qu'il faut ensuite tester un par un.

Exemple 2.9Trois classiques

Homothétie $f = α Id_{E}$ : le polynôme $Q = x - α$ est annulateur, donc $Sp (f) \subset {α}$ . Et si $E \neq = {0}$ , tout vecteur non nul est propre : $Sp (f) = {α}$ .
Projecteur : $p \circ p = p$ , donc $Q = x^{2} - x = x (x - 1)$ est annulateur et $Sp (p) \subset {0, 1}$ .
Symétrie : $s \circ s = Id_{E}$ , donc $Q = x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ est annulateur et $Sp (s) \subset {1, - 1}$ .

2.3 Propriétés générales du spectre

◆Théorème 2.10Somme directe des sous-espaces propres

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace $E$ de dimension finie. Alors $f$ possède un nombre fini de valeurs propres, et ses sous-espaces propres sont en somme directe :

$λ \in Sp (f) \sum dim (E_{λ} (f)) ⩽ dim (E) .$

◆Théorème 2.11Concaténation de familles propres

Soient $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ des valeurs propres deux à deux distinctes de $f$ , et pour chaque $i$ une famille libre de $E_{λ_{i}} (f)$ . Alors la concaténation de ces $k$ familles est libre dans $E$ .

↳Corollaire 2.12Deux conséquences à retenir

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre.
Un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ a au plus $n$ valeurs propres.

Démonstration

(2) À chaque valeur propre correspond au moins un vecteur propre, et ces vecteurs forment une famille libre par (1). Une famille libre d'un espace de dimension $n$ compte au plus $n$ vecteurs : il y a donc au plus $n$ valeurs propres.

Python : Chercher un spectre, et le vérifier


import numpy as np

# triangulaire
A = np.array([[2., 1., 0.], [0., -1., 3.], [0., 0., 5.]])
print(np.linalg.eigvals(A))           # [ 2. -1.  5.]  <- la diagonale

P = np.array([[1., 0.], [0., 0.]])       # un projecteur : P @ P == P
print(np.allclose(P @ P, P))             # True
print(np.linalg.eigvals(P))              # [1. 0.]

Sur la triangulaire, la machine confirme ce que la diagonale annonçait. Sur le projecteur, c'est la relation $P^{2} = P$ qui a donné le spectre avant tout calcul : le polynôme annulateur est le chemin le plus court.

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