Éléments propres et polynômes annulateurs

Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe d'un polynôme de degré 3 et ses trois racines réelles.

Un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ agit sur une infinité de vecteurs, et il les mélange. Sauf sur certaines directions, qu'il se contente de dilater : un vecteur porté par une telle direction reste porté par elle, seule sa longueur change. Ces directions sont les directions propres, et le facteur de dilatation est la valeur propre.

Ce chapitre les définit, montre comment les chercher — sans jamais recourir au déterminant, hors programme ici — et établit la propriété qui rend tout le chapitre 3 possible : des directions propres associées à des valeurs propres distinctes sont indépendantes.

AttentionComment on cherche une valeur propre en ECG

Le déterminant et le polynôme caractéristique ne figurent pas au programme de l'option approfondie : le mot « déterminant » n'apparaît pas une seule fois dans les programmes des deux années. Une valeur propre se cherche donc par un polynôme annulateur, par lecture directe sur une matrice triangulaire, ou par l'étude du rang de $f - λ Id_{E}$ . Ce chapitre installe le premier de ces trois outils.

2.1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

2.1.1 Définitions

Définition 2.1Éléments propres d'un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ . Un réel $λ$ est une valeur propre de $f$ lorsqu'il existe un vecteur $x \in E$ non nul tel que

$f (x) = λ x .$

Un tel vecteur $x$ est un vecteur propre de $f$ associé à $λ$ , et l'ensemble

$E_{λ} (f) = ker (f - λ Id_{E})$

est le sous-espace propre associé à $λ$ . L'ensemble des valeurs propres de $f$ est son spectre, noté $Sp (f)$ .

Définition 2.2Éléments propres d'une matrice

Les mêmes définitions valent pour $A \in M_{n} (R)$ , en remplaçant $f (x)$ par $A X$ et $Id_{E}$ par $I_{n}$ . Si $A$ est la matrice de $f$ dans une base $B$ , alors $Sp (f) = Sp (A)$ , et $x$ est vecteur propre de $f$ si et seulement si sa colonne $X$ dans $B$ est vecteur propre de $A$ pour la même valeur propre.

AttentionLe vecteur nul n'est jamais propre

$f (0_{E}) = λ \cdot 0_{E}$ pour tout réel $λ$ : l'admettre ferait de tout réel une valeur propre. D'où l'exigence $x \neq = 0$ . En revanche $0_{E}$ appartient toujours à $E_{λ} (f)$ , qui est un noyau, donc un sous-espace vectoriel.

◆Théorème 2.3Valeurs propres d'une matrice triangulaire

Si $A \in M_{n} (R)$ est triangulaire, alors

$Sp (A) = {a_{1, 1}, a_{2, 2}, \dots, a_{n, n}} .$

Démonstration

$A - λ I_{n}$ est encore triangulaire, de coefficients diagonaux $a_{i, i} - λ$ . Or une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Donc $A - λ I_{n}$ est non inversible — c'est-à-dire $λ$ est valeur propre — exactement lorsque $λ$ coïncide avec l'un des $a_{i, i}$ .

Exercices du chapitre

Un spectre lu sur la diagonale corrigé
Vérifier un vecteur propre corrigé
Une matrice et son inverse corrigé
Un endomorphisme de polynômes corrigé
Une valeur propre lue sur les sommes de lignes corrigé
Spectre par polynôme annulateur corrigé

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