Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Le chapitre 1 a montré qu'un même endomorphisme change de matrice quand on change de base, et le chapitre 2 a isolé les directions qu'il conserve. Il reste à joindre les deux : s'il existe assez de directions propres pour former une base, alors dans cette base la matrice devient diagonale.
C'est la réduction. Elle ne modifie pas l'endomorphisme — elle change le point de vue, et le bon point de vue rend le calcul trivial : une matrice diagonale s'élève à la puissance en élevant réels à la puissance .
Diagonalisable ne veut pas dire « diagonale ». Une matrice diagonalisable peut n'avoir aucun zéro. Cela veut dire : semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire qu'il existe un repère dans lequel elle le devient. La question n'est donc jamais « à quoi ressemble ? » mais « existe-t-il une base de vecteurs propres ? ».
3.1 Endomorphismes diagonalisables
3.1.1 Définition
Soit un espace vectoriel réel de dimension finie et un endomorphisme de . On dit que est diagonalisable lorsqu'il existe une base de formée de vecteurs propres de .
Si est une base de vecteurs propres, avec , alors
Démonstration
Par définition, la -ème colonne de la matrice est la colonne des coordonnées de dans . Or , dont les coordonnées sont nulles partout sauf en position , où elles valent .
3.1.2 Trois caractérisations
Soit un endomorphisme de , avec . Les assertions suivantes sont équivalentes :
- est diagonalisable ;
- est la somme directe des sous-espaces propres de :
- la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut :
Exercices du chapitre
- Trois valeurs propres distinctes corrigé
- Une somme de dimensions corrigé
- Une matrice non diagonalisable corrigé
- Une famille de matrices corrigé
- Trace, rang et diagonalisation corrigé
- Diagonaliser une matrice symétrique corrigé