Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 3 · prépa ECG, 2e année

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Le chapitre 1 a montré qu'un même endomorphisme change de matrice quand on change de base, et le chapitre 2 a isolé les directions qu'il conserve. Il reste à joindre les deux : s'il existe assez de directions propres pour former une base, alors dans cette base la matrice devient diagonale.

C'est la réduction. Elle ne modifie pas l'endomorphisme — elle change le point de vue, et le bon point de vue rend le calcul trivial : une matrice diagonale s'élève à la puissance $n$ en élevant $n$ réels à la puissance $n$ .

AttentionCe que « diagonalisable » ne dit pas

Diagonalisable ne veut pas dire « diagonale ». Une matrice diagonalisable peut n'avoir aucun zéro. Cela veut dire : semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire qu'il existe un repère dans lequel elle le devient. La question n'est donc jamais « à quoi ressemble $A$ ? » mais « existe-t-il une base de vecteurs propres ? ».

3.1 Endomorphismes diagonalisables

3.1.1 Définition

Définition 3.1Endomorphisme diagonalisable

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$ . On dit que $f$ est diagonalisable lorsqu'il existe une base $B$ de $E$ formée de vecteurs propres de $f$ .

Proposition 3.2La matrice dans une base propre

Si $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base de vecteurs propres, avec $f (e_{i}) = λ_{i} e_{i}$ , alors

$Mat_{B} (f) = λ_{1} 0 ⋮ 0 0 λ_{2} ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ 0 λ_{n} .$

Démonstration

Par définition, la $i$ -ème colonne de la matrice est la colonne des coordonnées de $f (e_{i})$ dans $B$ . Or $f (e_{i}) = λ_{i} e_{i}$ , dont les coordonnées sont nulles partout sauf en position $i$ , où elles valent $λ_{i}$ .

3.1.2 Trois caractérisations

◆Théorème 3.3Caractérisations de la diagonalisabilité

Soit $f$ un endomorphisme de $E$ , avec $dim (E) = n$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est diagonalisable ;
$E$ est la somme directe des sous-espaces propres de $f$ :

$E = λ \in Sp (f) ⨁ E_{λ} (f);$

la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$ :

$λ \in Sp (f) \sum dim (E_{λ} (f)) = n .$

ImportantLa forme opératoire, celle qu'on emploie

C'est le point (3) qui sert en pratique. On cherche le spectre, on calcule $dim E_{λ} (f) = n - rg (f - λ Id_{E})$ pour chaque valeur propre, et l'on additionne. Si l'on obtient $n$ , c'est diagonalisable ; sinon, non. Aucune base n'a besoin d'être exhibée pour décider.

◆Théorème 3.4Le critère le plus commode

Si $f$ est un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ admettant $n$ valeurs propres deux à deux distinctes, alors $f$ est diagonalisable, et tous ses sous-espaces propres sont de dimension $1$ .

Démonstration

Chaque valeur propre fournit un vecteur propre non nul ; ces $n$ vecteurs sont associés à des valeurs propres distinctes, donc forment une famille libre (chapitre 2). Une famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est une base : $f$ est diagonalisable. De plus $\sum dim E_{λ} = n$ avec $n$ termes tous supérieurs ou égaux à $1$ : chacun vaut exactement $1$ .

AttentionLa réciproque est fausse

$Id_{E}$ n'a qu'une valeur propre et sa matrice est diagonale dans toute base. Avoir $n$ valeurs propres distinctes est suffisant, jamais nécessaire : quand ce n'est pas le cas, il faut revenir aux dimensions.

3.2 Diagonaliser une matrice

Définition 3.5Matrice diagonalisable

$A \in M_{n} (R)$ est diagonalisable lorsqu'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que

$D = P^{- 1} A P, c’est- a ˋ -dire A = P D P^{- 1} .$

◆Théorème 3.6Interprétation matricielle

$A$ est diagonalisable si et seulement si $M_{n, 1} (R)$ possède une base formée de vecteurs propres de $A$ . Dans ce cas, les colonnes de $P$ sont ces vecteurs propres, et les coefficients diagonaux de $D$ sont les valeurs propres associées, dans le même ordre.

ImportantLa méthode, et sa vérification

Chercher $Sp (A)$ — par un polynôme annulateur, sur la diagonale si $A$ est triangulaire, ou par la chute du rang.
Pour chaque $λ$ , résoudre $(A - λ I_{n}) X = 0$ et donner une base de $E_{λ} (A)$ .
Additionner les dimensions. Si la somme vaut $n$ , empiler les vecteurs en colonnes dans $P$ et les valeurs propres dans $D$ .
Vérifier $A P = P D$ . Ce produit ne demande pas $P^{- 1}$ et attrape aussitôt une colonne mal placée.

Exemple 3.7Une diagonalisation en dimension 3

Soit $A = (21 - 1 010013)$ . On admet que $Sp (A) = {1, 2, 3}$ — trois valeurs distinctes en dimension $3$ , donc $A$ est diagonalisable, et chaque sous-espace propre est de dimension $1$ .

$λ = 1$ : $(A - I_{3}) X = 0$ donne $x_{1} = 0$ , puis $x_{1} + x_{3} = 0$ donc $x_{3} = 0$ , et $x_{2}$ libre. Vecteur propre : $(010)$ .

$λ = 2$ : $A - 2 I_{3} = (01 - 1 0 - 1 0 011)$ . La troisième ligne donne $x_{3} = x_{1}$ , la deuxième $x_{2} = x_{1} + x_{3} = 2 x_{1}$ . Vecteur propre : $(121)$ .

$λ = 3$ : $x_{1} = 0$ , puis $x_{2} = x_{3} /2$ . Vecteur propre : $(012)$ .

$P = 010121012, D = 100020003, A P = P D = 010242036 .$

3.3 Puissances d'une matrice diagonalisable

◆Théorème 3.8Puissances

Si $A = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , alors pour tout $k \in N$ ,

$A^{k} = P D^{k} P^{- 1}, D^{k} = diag (λ_{1}^{k}, \dots, λ_{n}^{k}) .$

Démonstration

Récurrence sur $k$ . Le cas $k = 0$ est $I_{n} = P I_{n} P^{- 1}$ . Et si $A^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ , alors

$A^{k + 1} = (P D^{k} P^{- 1}) (P D P^{- 1}) = P D^{k} (P^{- 1} P) D P^{- 1} = P D^{k + 1} P^{- 1},$

les facteurs $P^{- 1} P$ intermédiaires disparaissant.

Exemple 3.9Une puissance explicite

Soit $A = (1221)$ . On a $A (11) = 3 (11)$ et $A (1 - 1) = - (1 - 1)$ , donc avec $P = (11 1 - 1)$ , $D = diag (3, - 1)$ et $P^{- 1} = \frac{1}{2} (11 1 - 1)$ :

$A^{k} = \frac{1}{2} (3^{k} + (- 1)^{k} 3^{k} - (- 1)^{k} 3^{k} - (- 1)^{k} 3^{k} + (- 1)^{k}) .$

Contrôle en $k = 1$ : $\frac{1}{2} (2442) = A$ .

Python : Diagonaliser, et vérifier autrement que par la machine


import numpy as np

A = np.array([[2., 0., 0.], [1., 1., 1.], [-1., 0., 3.]])
P = np.array([[0., 1., 0.], [1., 2., 1.], [0., 1., 2.]])
D = np.diag([1., 2., 3.])

print(np.allclose(A @ P, P @ D))   # True  <- la verification du cours
print(np.linalg.matrix_rank(P))       # 3     <- P est bien inversible

k = 6
print(np.allclose(np.linalg.matrix_power(A, k),
                  # True
                  P @ np.diag([1., 2., 3.])**k @ np.linalg.inv(P)))

On ne demande pas ses valeurs propres à la machine : on lui fait vérifier celles qu'on a trouvées. C'est $A P = P D$ qui prouve la diagonalisation, et ce produit se calcule aussi bien à la main.

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