Produit scalaire et espaces euclidiens

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 · prépa ECG, 2e année

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

Jusqu'ici, un espace vectoriel n'avait ni longueurs ni angles : on pouvait additionner des vecteurs, les multiplier par des réels, mais rien ne permettait de dire que deux d'entre eux sont perpendiculaires, ni lequel est le plus long.

Le produit scalaire apporte exactement cela. Il transforme un espace vectoriel en un espace où l'on mesure — et il ouvre la porte à trois chapitres : les endomorphismes symétriques du chapitre 9, la recherche d'extrema du chapitre 10, et la méthode des moindres carrés, qui n'est rien d'autre qu'une projection orthogonale.

AttentionCe que le programme n'attend pas

L'orthonormalisation de Schmidt « pourra être introduite sur des exemples en petite dimension, mais cette méthode n'est pas exigible ». Quant aux matrices orthogonales, « aucune autre connaissance que $P^{- 1} =^{t} P$ n'est au programme ». On n'attend donc ni algorithme général, ni théorie des groupes orthogonaux.

4.1 Produit scalaire

4.1.1 Définition et exemples

Définition 4.1Produit scalaire

Soit $E$ un espace vectoriel réel. Un produit scalaire sur $E$ est une application $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : E \times E \to R$ qui est

bilinéaire : linéaire par rapport à chacune des deux variables ;
symétrique : $⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ ;
définie positive : $⟨ x, x ⟩ ⩾ 0$ pour tout $x$ , avec égalité si et seulement si $x = 0_{E}$ .

La norme associée est $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ .

Exemple 4.2Le produit scalaire canonique, et deux autres

Sur $R^{n}$ : $⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ . C'est le produit scalaire canonique, et $∥ x ∥ = \sum x_{i}^{2}$ .
Sur $R^{2}$ : $⟨ x, y ⟩ = 2 x_{1} y_{1} + 3 x_{2} y_{2}$ en est un autre, tout aussi légitime — bilinéaire, symétrique, et $⟨ x, x ⟩ = 2 x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2}$ ne s'annule qu'en $0$ .
Sur $M_{n} (R)$ : $⟨ A, B ⟩ = Tr (^{t} A B)$ , dont on a vu au chapitre 1 que $⟨ A, A ⟩ = \sum_{i, j} a_{i, j}^{2}$ .

AttentionUn espace peut porter plusieurs produits scalaires

« Orthogonal » n'a de sens que relativement à un produit scalaire donné. Les vecteurs $(1, 1)$ et $(3, - 2)$ sont orthogonaux pour $⟨ x, y ⟩ = 2 x_{1} y_{1} + 3 x_{2} y_{2}$ — car $2 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) = 0$ — mais pas pour le produit canonique, où $⟨(1, 1), (3, - 2)⟩ = 1$ .

4.1.2 Cauchy-Schwarz

◆Théorème 4.3Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous $x, y$ d'un espace muni d'un produit scalaire :

$⟨ x, y ⟩ ⩽ ∥ x ∥ ∥ y ∥,$

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration

Si $y = 0_{E}$ , les deux membres sont nuls. Sinon, pour tout réel $t$ ,

$0 ⩽ ∥ x + t y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 t ⟨ x, y ⟩ + t^{2} ∥ y ∥^{2} .$

C'est un trinôme en $t$ , de coefficient dominant $∥ y ∥^{2} > 0$ , positif pour tout $t$ : son discriminant est donc négatif ou nul, soit $4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} ⩽ 0$ . L'égalité a lieu quand le discriminant est nul, c'est-à-dire quand le trinôme admet une racine $t_{0}$ : alors $∥ x + t_{0} y ∥ = 0$ , donc $x = - t_{0} y$ .

4.1.3 Orthogonalité

Définition 4.4Orthogonalité

Deux vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux lorsque $⟨ x, y ⟩ = 0$ . Une famille $(u_{1}, \dots, u_{p})$ est

orthogonale si $⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = 0$ dès que $i \neq = j$ ;
orthonormale (ou orthonormée) si de plus $∥ u_{i} ∥ = 1$ pour tout $i$ .

Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont orthogonaux si tout vecteur de $F$ est orthogonal à tout vecteur de $G$ .

◆Théorème 4.5Pythagore

Si $x$ et $y$ sont orthogonaux, alors $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$ .

Démonstration

$∥ x + y ∥^{2} = ⟨ x + y, x + y ⟩ = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2}$ , et le terme croisé est nul.

◆Théorème 4.6Une famille orthogonale est libre

Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

Démonstration

Supposons $\sum_{i} λ_{i} u_{i} = 0_{E}$ . Prenons le produit scalaire avec $u_{j}$ : par bilinéarité,

$0 = ⟨ i \sum λ_{i} u_{i}, u_{j} ⟩ = i \sum λ_{i} ⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = λ_{j} ∥ u_{j} ∥^{2},$

tous les autres termes étant nuls par orthogonalité. Comme $u_{j} \neq = 0_{E}$ , on a $∥ u_{j} ∥^{2} \neq = 0$ , donc $λ_{j} = 0$ . Ceci pour tout $j$ .

4.2 Espaces euclidiens

Définition 4.7Espace euclidien

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

◆Théorème 4.8Existence de bases orthonormées

Tout espace euclidien admet une base orthonormée. De plus, toute famille orthonormée peut être complétée en une base orthonormée.

iRemarqueSchmidt : à connaître de vue, pas par cœur

La construction repose sur le procédé d'orthonormalisation de Schmidt : on redresse les vecteurs un à un en leur retirant ce qu'ils ont de commun avec les précédents, puis on les ramène à la longueur $1$ . Le programme précise que ce procédé n'est pas exigible : il peut être vu sur un exemple en dimension $2$ ou $3$ , jamais demandé en général.

◆Théorème 4.9Coordonnées dans une base orthonormée

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée d'un espace euclidien $E$ . Alors, pour tout $x \in E$ ,

$x = i = 1 \sum n ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}, et ∥ x ∥^{2} = i = 1 \sum n ⟨ x, e_{i} ⟩^{2} .$

ImportantLa commodité décisive

Dans une base quelconque, trouver les coordonnées d'un vecteur demande de résoudre un système. Dans une base orthonormée, chaque coordonnée est un simple produit scalaire : $x_{i} = ⟨ x, e_{i} ⟩$ . C'est pour cette seule raison qu'on prend la peine d'en construire.

◆Théorème 4.10Expression matricielle

Si $X$ et $Y$ sont les colonnes de $x$ et $y$ dans une base orthonormée, alors

$⟨ x, y ⟩ =^{t} X Y, ∥ x ∥^{2} =^{t} X X .$

◆Théorème 4.11Changement de base orthonormée

La matrice de passage d'une base orthonormée à une base orthonormée est orthogonale, c'est-à-dire vérifie

$P^{- 1} =^{t} P .$

AttentionC'est tout ce que le programme demande sur les matrices orthogonales

$P^{- 1} =^{t} P$ , et rien de plus. On n'attend ni la caractérisation par les colonnes, ni le groupe orthogonal, ni les rotations. En pratique, la relation sert surtout à alléger un calcul : inverser une telle matrice, c'est la transposer.

4.3 Supplémentaire orthogonal

Définition 4.12Orthogonal d'un sous-espace

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien $E$ . Son orthogonal est

$F^{⊥} = {x \in E ∣ ⟨ x, y ⟩ = 0 pour tout y \in F} .$

◆Théorème 4.13Supplémentaire orthogonal

$F^{⊥}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , et

$E = F \oplus F^{⊥}, dim (F^{⊥}) = dim (E) - dim (F), (F^{⊥})^{⊥} = F .$

Exemple 4.14Un orthogonal explicite

Dans $R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, soit $F = Vect ((1, 1, 0))$ . Alors

$F^{⊥} = {(x, y, z) ∣ x + y = 0} = Vect ((1, - 1, 0), (0, 0, 1)),$

de dimension $2 = 3 - 1$ . On vérifie : $⟨(1, 1, 0), (1, - 1, 0)⟩ = 0$ et $⟨(1, 1, 0), (0, 0, 1)⟩ = 0$ .

Python : Produit scalaire, norme, orthogonalité


import numpy as np

x = np.array([1., 1., 0.])
y = np.array([1., -1., 0.])

print(x @ y)                       # 0.0   <- orthogonaux
print(np.linalg.norm(x)**2, x @ x) # 2.0 2.0
# Cauchy-Schwarz
print(abs(x @ y) <= np.linalg.norm(x)*np.linalg.norm(y))

# une base orthonormee obtenue par Schmidt, sur un exemple
u1 = np.array([2., 0.5]); u2 = np.array([1.2, 1.7])
e1 = u1 / np.linalg.norm(u1)
r  = u2 - (u2 @ e1) * e1           # on retire la part selon e1
e2 = r / np.linalg.norm(r)
print(round(e1 @ e2, 12), round(e1 @ e1, 12))   # 0.0 1.0

La ligne u2 - (u2 @ e1) e1 est* le procédé de Schmidt : on retire à $u_{2}$ sa part selon $e_{1}$ , et ce qui reste lui est orthogonal.

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices