Produit scalaire et espaces euclidiens

Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le projeté orthogonal d'un vecteur sur un plan : la différence est perpendiculaire au plan.

Jusqu'ici, un espace vectoriel n'avait ni longueurs ni angles : on pouvait additionner des vecteurs, les multiplier par des réels, mais rien ne permettait de dire que deux d'entre eux sont perpendiculaires, ni lequel est le plus long.

Le produit scalaire apporte exactement cela. Il transforme un espace vectoriel en un espace où l'on mesure — et il ouvre la porte à trois chapitres : les endomorphismes symétriques du chapitre 9, la recherche d'extrema du chapitre 10, et la méthode des moindres carrés, qui n'est rien d'autre qu'une projection orthogonale.

AttentionCe que le programme n'attend pas

L'orthonormalisation de Schmidt « pourra être introduite sur des exemples en petite dimension, mais cette méthode n'est pas exigible ». Quant aux matrices orthogonales, « aucune autre connaissance que $P^{- 1} =^{t} P$ n'est au programme ». On n'attend donc ni algorithme général, ni théorie des groupes orthogonaux.

4.1 Produit scalaire

4.1.1 Définition et exemples

Définition 4.1Produit scalaire

Soit $E$ un espace vectoriel réel. Un produit scalaire sur $E$ est une application $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : E \times E \to R$ qui est

bilinéaire : linéaire par rapport à chacune des deux variables ;
symétrique : $⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ ;
définie positive : $⟨ x, x ⟩ ⩾ 0$ pour tout $x$ , avec égalité si et seulement si $x = 0_{E}$ .

La norme associée est $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ .

Exemple 4.2Le produit scalaire canonique, et deux autres

Sur $R^{n}$ : $⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ . C'est le produit scalaire canonique, et $∥ x ∥ = \sum x_{i}^{2}$ .
Sur $R^{2}$ : $⟨ x, y ⟩ = 2 x_{1} y_{1} + 3 x_{2} y_{2}$ en est un autre, tout aussi légitime — bilinéaire, symétrique, et $⟨ x, x ⟩ = 2 x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2}$ ne s'annule qu'en $0$ .
Sur $M_{n} (R)$ : $⟨ A, B ⟩ = Tr (^{t} A B)$ , dont on a vu au chapitre 1 que $⟨ A, A ⟩ = \sum_{i, j} a_{i, j}^{2}$ .

AttentionUn espace peut porter plusieurs produits scalaires

« Orthogonal » n'a de sens que relativement à un produit scalaire donné. Les vecteurs $(1, 1)$ et $(3, - 2)$ sont orthogonaux pour $⟨ x, y ⟩ = 2 x_{1} y_{1} + 3 x_{2} y_{2}$ — car $2 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) = 0$ — mais pas pour le produit canonique, où $⟨(1, 1), (3, - 2)⟩ = 1$ .

4.1.2 Cauchy-Schwarz

◆Théorème 4.3Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous $x, y$ d'un espace muni d'un produit scalaire :

$⟨ x, y ⟩ ⩽ ∥ x ∥ ∥ y ∥,$

avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration

Si $y = 0_{E}$ , les deux membres sont nuls. Sinon, pour tout réel $t$ ,

$0 ⩽ ∥ x + t y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 t ⟨ x, y ⟩ + t^{2} ∥ y ∥^{2} .$

C'est un trinôme en $t$ , de coefficient dominant $∥ y ∥^{2} > 0$ , positif pour tout $t$ : son discriminant est donc négatif ou nul, soit $4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} ⩽ 0$ . L'égalité a lieu quand le discriminant est nul, c'est-à-dire quand le trinôme admet une racine $t_{0}$ : alors $∥ x + t_{0} y ∥ = 0$ , donc $x = - t_{0} y$ .

Exercices du chapitre

Est-ce un produit scalaire ? corrigé
Orthogonalité relative corrigé
Un produit scalaire construit sur trois valeurs corrigé
Un produit scalaire sur les matrices corrigé
Norme d'une somme corrigé
Cauchy-Schwarz appliqué corrigé

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