Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel

Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les lignes de niveau d'une fonction de deux variables et son gradient, orthogonal à la ligne de niveau.

Une entreprise dont la production dépend du capital et du travail, un portefeuille dont le rendement dépend de plusieurs actifs, une prévision qui combine plusieurs indicateurs : dès qu'une grandeur dépend de deux quantités ou plus, la fonction d'une variable ne suffit plus.

Ce chapitre étend à $R^{n}$ les notions de première année — continuité, dérivée, développement limité — et découvre l'objet central de tout le reste : le gradient. Il joue le rôle que jouait la dérivée, avec une différence essentielle : ce n'est plus un nombre, c'est un vecteur, et sa direction porte une information géométrique.

AttentionLe domaine est

R^{n}

tout entier, à ce stade

Le programme du troisième semestre est net : « le domaine de définition des fonctions sera systématiquement $R^{n}$ », et « l'étude de la continuité d'une fonction en un point pathologique est hors programme ». Aucune question de domaine, aucun recollement de formules. Le chapitre 10 étendra prudemment aux ouverts.

5.1 Fonctions de $n$ variables

5.1.1 Premières définitions

Définition 5.1Fonction de

n

variables, graphe, lignes de niveau

Une fonction $f : R^{n} \to R$ associe à chaque $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ un réel $f (x)$ . Son graphe est l'ensemble des points $(x_{1}, \dots, x_{n}, f (x))$ de $R^{n + 1}$ .

Pour $n = 2$ , la ligne de niveau $k$ est l'ensemble

${(x, y) \in R^{2} ∣ f (x, y) = k} .$

Exemple 5.2Trois fonctions de référence

Affine : $f (x, y) = 2 x - 3 y + 1$ . Son graphe est un plan de $R^{3}$ , ses lignes de niveau sont des droites parallèles.
Polynomiale : $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ . Ses lignes de niveau sont des cercles.
Cobb-Douglas : $f (K, L) = K^{0, 3} L^{0, 7}$ sur les valeurs positives, la fonction de production la plus employée en économie. Ses lignes de niveau, appelées isoquantes, sont des courbes décroissantes convexes.

Définition 5.3Continuité

$f : R^{n} \to R$ est continue en $x_{0}$ lorsque

$\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in R^{n}, ∥ x - x_{0} ∥ ⩽ α ⟹ ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ ⩽ ε .$

Elle est continue sur $R^{n}$ si elle l'est en tout point.

◆Théorème 5.4Ce qui est continu

Les fonctions polynomiales de $n$ variables sont continues sur $R^{n}$ . La somme, le produit, le quotient (à dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus. La composée d'une fonction continue $R^{n} \to I$ par une fonction continue $I \to R$ est continue.

Exercices du chapitre

Des lignes de niveau corrigé
Continuité d'un quotient corrigé
Les lignes de niveau d'un produit corrigé
Des dérivées partielles corrigé
Dérivées partielles secondes corrigé
Une exponentielle à deux variables corrigé

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Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel

5.1 Fonctions de n variables

5.1.1 Premières définitions

Exercices du chapitre

5.1 Fonctions de $n$ variables