Fonctions de plusieurs variables : continuité et calcul différentiel

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 5 · prépa ECG, 2e année

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Une entreprise dont la production dépend du capital et du travail, un portefeuille dont le rendement dépend de plusieurs actifs, une prévision qui combine plusieurs indicateurs : dès qu'une grandeur dépend de deux quantités ou plus, la fonction d'une variable ne suffit plus.

Ce chapitre étend à $R^{n}$ les notions de première année — continuité, dérivée, développement limité — et découvre l'objet central de tout le reste : le gradient. Il joue le rôle que jouait la dérivée, avec une différence essentielle : ce n'est plus un nombre, c'est un vecteur, et sa direction porte une information géométrique.

AttentionLe domaine est

R^{n}

tout entier, à ce stade

Le programme du troisième semestre est net : « le domaine de définition des fonctions sera systématiquement $R^{n}$ », et « l'étude de la continuité d'une fonction en un point pathologique est hors programme ». Aucune question de domaine, aucun recollement de formules. Le chapitre 10 étendra prudemment aux ouverts.

5.1 Fonctions de $n$ variables

5.1.1 Premières définitions

Définition 5.1Fonction de

n

variables, graphe, lignes de niveau

Une fonction $f : R^{n} \to R$ associe à chaque $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ un réel $f (x)$ . Son graphe est l'ensemble des points $(x_{1}, \dots, x_{n}, f (x))$ de $R^{n + 1}$ .

Pour $n = 2$ , la ligne de niveau $k$ est l'ensemble

${(x, y) \in R^{2} ∣ f (x, y) = k} .$

Exemple 5.2Trois fonctions de référence

Affine : $f (x, y) = 2 x - 3 y + 1$ . Son graphe est un plan de $R^{3}$ , ses lignes de niveau sont des droites parallèles.
Polynomiale : $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ . Ses lignes de niveau sont des cercles.
Cobb-Douglas : $f (K, L) = K^{0, 3} L^{0, 7}$ sur les valeurs positives, la fonction de production la plus employée en économie. Ses lignes de niveau, appelées isoquantes, sont des courbes décroissantes convexes.

Définition 5.3Continuité

$f : R^{n} \to R$ est continue en $x_{0}$ lorsque

$\forall ε > 0, \exists α > 0, \forall x \in R^{n}, ∥ x - x_{0} ∥ ⩽ α ⟹ ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ ⩽ ε .$

Elle est continue sur $R^{n}$ si elle l'est en tout point.

◆Théorème 5.4Ce qui est continu

Les fonctions polynomiales de $n$ variables sont continues sur $R^{n}$ . La somme, le produit, le quotient (à dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus. La composée d'une fonction continue $R^{n} \to I$ par une fonction continue $I \to R$ est continue.

iRemarqueRésultats admis, et c'est voulu

Le programme les admet tous et précise : « aucune difficulté ne sera soulevée sur ce sujet ». La continuité est ici un permis de calculer, pas un objet d'étude.

5.2 Dérivées partielles et gradient

5.2.1 Fonctions partielles

Définition 5.5Fonctions partielles, dérivées partielles

Soit $f : R^{n} \to R$ et $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ . La $i$ -ème fonction partielle en $x$ est

$t ⟼ f (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, t, x_{i + 1}, \dots, x_{n}),$

obtenue en gelant toutes les variables sauf la $i$ -ème. Sa dérivée en $t = x_{i}$ , lorsqu'elle existe, est la dérivée partielle $\partial_{i} f (x)$ .

ImportantComment on calcule, en pratique

Pour dériver par rapport à $x_{i}$ , on traite toutes les autres variables comme des constantes et l'on applique les règles de dérivation de première année. Rien de plus.

Exemple 5.6Un calcul de dérivées partielles

Soit $f (x, y) = x^{2} y + 3 x - e^{y}$ . En gelant $y$ : $\partial_{1} f (x, y) = 2 x y + 3$ . En gelant $x$ : $\partial_{2} f (x, y) = x^{2} - e^{y}$ .

Au point $(1, 0)$ : $\partial_{1} f (1, 0) = 3$ et $\partial_{2} f (1, 0) = 1 - 1 = 0$ .

5.2.2 Gradient

Définition 5.7Gradient

Le gradient de $f$ en $x$ est le vecteur de $R^{n}$

$\nabla f (x) = (\partial_{1} f (x), \dots, \partial_{n} f (x)) .$

Définition 5.8Classes

C^{1}

C^{2}

$f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{n}$ si ses $n$ dérivées partielles existent et sont continues ; de classe $C^{2}$ si les $n^{2}$ dérivées partielles secondes $\partial_{i, j}^{2} f$ existent et sont continues. Les fonctions polynomiales sont de classe $C^{2}$ .

◆Théorème 5.9Développement limité d'ordre 1

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{n}$ , alors pour tout $x$ et tout $h \in R^{n}$ ,

$f (x + h) = f (x) + ⟨ \nabla f (x), h ⟩ + ∥ h ∥ ε (h), ε (h) h \to 0 0.$

ImportantLe gradient joue le rôle de la dérivée

En une variable, $f (x + h) \approx f (x) + f^{'} (x) h$ : on multipliait par la dérivée. En $n$ variables, $f (x + h) \approx f (x) + ⟨ \nabla f (x), h ⟩$ : on prend un produit scalaire avec le gradient. C'est la seule différence, et elle explique tout ce qui suit.

◆Théorème 5.10Restriction à une droite

Soit $f$ de classe $C^{1}$ , $x, h \in R^{n}$ , et $g (t) = f (x + t h)$ . Alors $g$ est dérivable et

$g^{'} (t) = ⟨ \nabla f (x + t h), h ⟩, en particulier g^{'} (0) = ⟨ \nabla f (x), h ⟩ .$

ImportantL'interprétation géométrique du gradient

$g^{'} (0)$ mesure la vitesse de variation de $f$ quand on part de $x$ dans la direction $h$ . Par Cauchy-Schwarz,

$⟨ \nabla f (x), h ⟩ ⩽ ∥\nabla f (x) ∥ ∥ h ∥,$

avec égalité si et seulement si $h$ est colinéaire à $\nabla f (x)$ . Donc le gradient indique la direction de plus forte croissance, et sa norme mesure la pente dans cette direction.

5.3 Points critiques

Définition 5.11Extremum local, extremum global

$f$ admet un maximum local en $x_{0}$ s'il existe $r > 0$ tel que $f (x) ⩽ f (x_{0})$ pour tout $x$ vérifiant $∥ x - x_{0} ∥ ⩽ r$ . Le maximum est global si l'inégalité vaut pour tout $x$ . On définit de même les minima.

◆Théorème 5.12Condition nécessaire du premier ordre

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{n}$ et admet un extremum local en $x_{0}$ , alors

$\nabla f (x_{0}) = 0.$

Un point où le gradient s'annule est appelé point critique.

Démonstration

Soit $h \in R^{n}$ et $g (t) = f (x_{0} + t h)$ . La fonction $g$ , d'une variable réelle, admet un extremum local en $t = 0$ et est dérivable : donc $g^{'} (0) = 0$ , c'est-à-dire $⟨ \nabla f (x_{0}), h ⟩ = 0$ . Ceci valant pour tout $h$ , en particulier pour $h = \nabla f (x_{0})$ , on obtient $∥\nabla f (x_{0}) ∥^{2} = 0$ , donc $\nabla f (x_{0}) = 0$ .

AttentionLa réciproque est fausse

Un point critique n'est pas nécessairement un extremum. Pour $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ , le gradient s'annule en $(0, 0)$ , et pourtant $f$ y prend des valeurs positives dans une direction ( $f (t, 0) = t^{2}$ ) et négatives dans une autre ( $f (0, t) = - t^{2}$ ). C'est un point col, et le chapitre 10 donnera le critère qui permet de trancher.

Exemple 5.13Chercher les points critiques

Soit $f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x$ . Alors

$\partial_{1} f = 2 x + y - 3, \partial_{2} f = x + 2 y .$

Le gradient s'annule quand $2 x + y = 3$ et $x + 2 y = 0$ . La seconde donne $x = - 2 y$ , reportée dans la première : $- 4 y + y = 3$ , donc $y = - 1$ et $x = 2$ .

Unique point critique : $(2, - 1)$ , où $f$ vaut $4 - 2 + 1 - 6 = - 3$ . Le chapitre 10 montrera que c'est un minimum global.

Python : Gradient numérique, et point critique


import numpy as np

def f(v):
    x, y = v
    return x**2 + x*y + y**2 - 3*x

def gradient(f, v, h=1e-6):
    g = np.zeros_like(v)
    for i in range(len(v)):
        e = np.zeros_like(v); e[i] = h
        g[i] = (f(v+e) - f(v-e)) / (2*h)
    return g

print(gradient(f, np.array([2., -1.])))   # [0. 0.]  <- point critique
print(gradient(f, np.array([0., 0.])))    # [-3. 0.]
print(f(np.array([2., -1.])))             # -3.0

La dérivée numérique confirme le calcul à la main. Elle ne le remplace pas : elle ne dira jamais qu'il n'y a pas d'autre point critique ailleurs.

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