Compléments sur les variables aléatoires réelles
Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
La première année a traité les variables aléatoires discrètes : celles qui ne prennent qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Or beaucoup de grandeurs aléatoires ne sont pas de cette sorte — une durée d'attente, une température, un cours de bourse prennent leurs valeurs dans un intervalle.
Ce chapitre pose le cadre commun aux deux mondes. Il introduit l'objet qui les décrit tous les deux, la fonction de répartition, et un outil de calcul qui reviendra sans cesse : la formule de l'espérance totale, qui permet de calculer une espérance en découpant l'univers.
« Le fait de vérifier qu'une fonction est une variable aléatoire n'est pas un des objectifs du programme. » On ne demandera jamais de démontrer que est un événement : cela sera toujours acquis. De même, « aucune difficulté ne sera soulevée » sur la dénombrabilité.
6.1 Le cadre général
6.1.1 Variable aléatoire réelle
Un espace probabilisé est un triplet où est l'univers, l'ensemble des événements, et une probabilité.
Une variable aléatoire réelle est une application telle que, pour tout réel , l'ensemble soit un événement.
6.1.2 Fonction de répartition
La fonction de répartition de est
est croissante, vérifie
et pour tous réels :
Exercices du chapitre
- Une fonction de répartition corrigé
- Une fonction de répartition à reconnaître corrigé
- Les sauts d'une fonction de répartition corrigé
- Maximum de deux dés corrigé
- Minimum de deux dés corrigé
- Le minimum de trois attentes corrigé