Compléments sur les variables aléatoires réelles

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 6 · prépa ECG, 2e année

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La première année a traité les variables aléatoires discrètes : celles qui ne prennent qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Or beaucoup de grandeurs aléatoires ne sont pas de cette sorte — une durée d'attente, une température, un cours de bourse prennent leurs valeurs dans un intervalle.

Ce chapitre pose le cadre commun aux deux mondes. Il introduit l'objet qui les décrit tous les deux, la fonction de répartition, et un outil de calcul qui reviendra sans cesse : la formule de l'espérance totale, qui permet de calculer une espérance en découpant l'univers.

AttentionCe que le programme n'exige pas

« Le fait de vérifier qu'une fonction est une variable aléatoire n'est pas un des objectifs du programme. » On ne demandera jamais de démontrer que $[X ⩽ x]$ est un événement : cela sera toujours acquis. De même, « aucune difficulté ne sera soulevée » sur la dénombrabilité.

6.1 Le cadre général

6.1.1 Variable aléatoire réelle

Définition 6.1Espace probabilisé, variable aléatoire

Un espace probabilisé est un triplet $(Ω, A, P)$ où $Ω$ est l'univers, $A$ l'ensemble des événements, et $P$ une probabilité.

Une variable aléatoire réelle est une application $X : Ω \to R$ telle que, pour tout réel $x$ , l'ensemble $[X ⩽ x] = {ω \in Ω ∣ X (ω) ⩽ x}$ soit un événement.

6.1.2 Fonction de répartition

Définition 6.2Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$ est

$F_{X} : R \to [0, 1], F_{X} (x) = P ([X ⩽ x]) .$

◆Théorème 6.3Propriétés

$F_{X}$ est croissante, vérifie

$x \to - \infty lim F_{X} (x) = 0, x \to + \infty lim F_{X} (x) = 1,$

et pour tous réels $a < b$ :

$P ([a < X ⩽ b]) = F_{X} (b) - F_{X} (a) .$

ImportantLa fonction de répartition caractérise la loi

Deux variables aléatoires ayant la même fonction de répartition ont la même loi. C'est ce qui rend $F_{X}$ si utile : un seul objet décrit une variable discrète comme une variable continue, alors que la « loi » se présente autrement dans les deux cas — par les $P (X = k)$ d'un côté, par une densité de l'autre.

◆Théorème 6.4Opérations

Si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires sur $(Ω, A, P)$ , alors $λ X + μ Y$ , $X Y$ , $max (X, Y)$ et $min (X, Y)$ en sont aussi.

iRemarqueRésultat admis

Le programme l'admet. Ce qui compte en pratique est la conséquence : on peut combiner des variables aléatoires sans se demander si le résultat en est une.

6.2 Espérance conditionnelle

Définition 6.5Espérance conditionnelle

Soit $A$ un événement de probabilité non nulle et $X$ une variable aléatoire discrète. L'espérance de $X$ sachant $A$ , notée $E (X / A)$ , est l'espérance de $X$ pour la probabilité conditionnelle $P_{A}$ :

$E (X / A) = k \in X (Ω) \sum k P ([X = k] ∣ A),$

sous réserve de convergence absolue.

ImportantCe que « conditionner » veut dire

Conditionner par $A$ , c'est restreindre l'univers à $A$ et renormaliser : on ne regarde plus que les issues de $A$ , en donnant à leurs probabilités une somme totale de $1$ . L'espérance conditionnelle est alors la moyenne de $X$ sur ce sous-univers.

Exemple 6.6Une espérance conditionnelle

On lance un dé équilibré à six faces, $X$ est le résultat, et $A$ est l'événement « le résultat est pair ». Alors, sachant $A$ , les trois valeurs $2$ , $4$ , $6$ sont équiprobables :

$E (X / A) = 2 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{3} + 6 \times \frac{1}{3} = 4.$

À comparer à $E (X) = 3, 5$ : conditionner change la moyenne, et c'est bien tout l'intérêt.

6.3 Formule de l'espérance totale

Définition 6.7Système complet d'événements

Une famille $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements est un système complet si les $A_{n}$ sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est $Ω$ .

◆Théorème 6.8Formule de l'espérance totale

Soit $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n \in N}$ un système complet d'événements de probabilités toutes non nulles. Alors $X$ admet une espérance si et seulement si

pour tout $n$ , l'espérance conditionnelle $E (X / A_{n})$ existe ;
la série $\sum_{n} E (∣ X ∣/ A_{n}) P (A_{n})$ converge.

Dans ce cas,

$E (X) = n \in N \sum E (X / A_{n}) P (A_{n}) .$

ImportantComment on s'en sert

On l'emploie quand $X$ est difficile à décrire globalement, mais simple une fois qu'on sait dans quel cas on est. On découpe l'univers selon ce « cas », on calcule la moyenne dans chacun, et l'on pondère par les probabilités. C'est l'exact analogue de la formule des probabilités totales, pour les espérances.

Exemple 6.9Une espérance calculée en deux temps

Une urne contient deux dés : l'un est équilibré à $6$ faces, l'autre à $4$ faces. On en tire un au hasard (également probable) et on le lance ; $X$ est le résultat.

Posons $A_{1}$ = « on a pris le dé à $6$ faces » et $A_{2}$ = « celui à $4$ ». C'est un système complet, avec $P (A_{1}) = P (A_{2}) = \frac{1}{2}$ . Sachant $A_{1}$ , $X$ est uniforme sur ${1, \dots, 6}$ donc $E (X / A_{1}) = 3, 5$ ; sachant $A_{2}$ , uniforme sur ${1, \dots, 4}$ donc $E (X / A_{2}) = 2, 5$ . Ainsi

$E (X) = 3, 5 \times \frac{1}{2} + 2, 5 \times \frac{1}{2} = 3.$

On n'a jamais eu besoin de la loi de $X$ , qui est pourtant moins simple qu'il n'y paraît.

Python : Vérifier une espérance totale par simulation


import random

def experience():
    faces = 6 if random.random() < 0.5 else 4
    return random.randint(1, faces)

random.seed(0)
N = 200000
moyenne = sum(experience() for _ in range(N)) / N
print(round(moyenne, 3))    # proche de 3.0

La simulation corrobore le calcul, elle ne le remplace pas : avec $200000$ tirages, l'écart typique à la vraie valeur est encore de l'ordre de $0, 004$ . Une simulation ne prouve jamais une égalité.

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