Variables aléatoires à densité et lois usuelles

Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 7 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La courbe en cloche d'une loi normale, avec l'aire comprise entre μ − σ et μ + σ.

Une durée d'attente, une taille, un rendement : ces grandeurs prennent leurs valeurs dans un intervalle, et la probabilité qu'elles vaillent exactement $3, 7$ est nulle. Décrire leur loi par une liste de $P (X = k)$ n'a donc aucun sens.

Le chapitre précédent a fourni l'objet qui convient : la fonction de répartition. Il reste à voir que, lorsqu'elle est continue et dérivable, sa dérivée porte toute l'information. Cette dérivée s'appelle une densité, et les probabilités deviennent des aires.

AttentionOn calcule d'abord sur un segment

Toutes les intégrales de ce chapitre sont généralisées. Conformément au chapitre 6 des appliquées et au programme, on calcule sur $[a, x]$ , puis on fait tendre $x$ vers l'infini. Les techniques de calcul ne s'appliquent jamais directement à une borne infinie.

7.1 Densité

7.1.1 Définitions

Définition 7.1Densité de probabilité

Une fonction $f : R \to R$ est une densité de probabilité lorsqu'elle est

continue sur $R$ sauf en un nombre fini de points,
positive,
d'intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ .

Définition 7.2Variable aléatoire à densité

$X$ est une variable aléatoire à densité lorsque sa fonction de répartition $F_{X}$ est continue sur $R$ et de classe $C^{1}$ sur $R$ éventuellement privé d'un ensemble fini de points. Toute fonction égale à $F_{X}^{'}$ sauf en un nombre fini de points est alors une densité de $X$ , et

$F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (t) d t .$

◆Théorème 7.3Ce que la densité donne

Pour tous réels $a < b$ :

$P ([a ⩽ X ⩽ b]) = \int_{a}^{b} f_{X} (t) d t, et P ([X = a]) = 0.$

ImportantLes inégalités strictes ne comptent plus

Comme $P ([X = a]) = 0$ , les quatre écritures $P (a < X < b)$ , $P (a ⩽ X < b)$ , $P (a < X ⩽ b)$ et $P (a ⩽ X ⩽ b)$ ont la même valeur. C'est un allègement considérable par rapport au cas discret, où l'on devait y prendre garde à chaque ligne.

7.1.2 Transformations

◆Théorème 7.4Transformation affine

Soit $X$ à densité $f_{X}$ , et $Y = a X + b$ avec $a \neq = 0$ . Alors $Y$ est à densité, et

$f_{Y} (t) = \frac{1}{∣ a ∣} f_{X} (\frac{t - b}{a}) .$

Démonstration

Pour $a > 0$ : $F_{Y} (t) = P (a X + b ⩽ t) = P (X ⩽ \frac{t - b}{a}) = F_{X} (\frac{t - b}{a})$ . En dérivant, $f_{Y} (t) = \frac{1}{a} f_{X} (\frac{t - b}{a})$ . Pour $a < 0$ , l'inégalité change de sens et l'on obtient $- \frac{1}{a}$ , d'où le $∣ a ∣$ .

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre