Variables aléatoires à densité et lois usuelles

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 7 · prépa ECG, 2e année

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Une durée d'attente, une taille, un rendement : ces grandeurs prennent leurs valeurs dans un intervalle, et la probabilité qu'elles vaillent exactement $3, 7$ est nulle. Décrire leur loi par une liste de $P (X = k)$ n'a donc aucun sens.

Le chapitre précédent a fourni l'objet qui convient : la fonction de répartition. Il reste à voir que, lorsqu'elle est continue et dérivable, sa dérivée porte toute l'information. Cette dérivée s'appelle une densité, et les probabilités deviennent des aires.

AttentionOn calcule d'abord sur un segment

Toutes les intégrales de ce chapitre sont généralisées. Conformément au chapitre 6 des appliquées et au programme, on calcule sur $[a, x]$ , puis on fait tendre $x$ vers l'infini. Les techniques de calcul ne s'appliquent jamais directement à une borne infinie.

7.1 Densité

7.1.1 Définitions

Définition 7.1Densité de probabilité

Une fonction $f : R \to R$ est une densité de probabilité lorsqu'elle est

continue sur $R$ sauf en un nombre fini de points,
positive,
d'intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ .

Définition 7.2Variable aléatoire à densité

$X$ est une variable aléatoire à densité lorsque sa fonction de répartition $F_{X}$ est continue sur $R$ et de classe $C^{1}$ sur $R$ éventuellement privé d'un ensemble fini de points. Toute fonction égale à $F_{X}^{'}$ sauf en un nombre fini de points est alors une densité de $X$ , et

$F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (t) d t .$

◆Théorème 7.3Ce que la densité donne

Pour tous réels $a < b$ :

$P ([a ⩽ X ⩽ b]) = \int_{a}^{b} f_{X} (t) d t, et P ([X = a]) = 0.$

ImportantLes inégalités strictes ne comptent plus

Comme $P ([X = a]) = 0$ , les quatre écritures $P (a < X < b)$ , $P (a ⩽ X < b)$ , $P (a < X ⩽ b)$ et $P (a ⩽ X ⩽ b)$ ont la même valeur. C'est un allègement considérable par rapport au cas discret, où l'on devait y prendre garde à chaque ligne.

7.1.2 Transformations

◆Théorème 7.4Transformation affine

Soit $X$ à densité $f_{X}$ , et $Y = a X + b$ avec $a \neq = 0$ . Alors $Y$ est à densité, et

$f_{Y} (t) = \frac{1}{∣ a ∣} f_{X} (\frac{t - b}{a}) .$

Démonstration

Pour $a > 0$ : $F_{Y} (t) = P (a X + b ⩽ t) = P (X ⩽ \frac{t - b}{a}) = F_{X} (\frac{t - b}{a})$ . En dérivant, $f_{Y} (t) = \frac{1}{a} f_{X} (\frac{t - b}{a})$ . Pour $a < 0$ , l'inégalité change de sens et l'on obtient $- \frac{1}{a}$ , d'où le $∣ a ∣$ .

ImportantLa méthode générale, pour

Y = φ (X)

On ne cherche jamais la densité directement. On passe toujours par la fonction de répartition :

$F_{Y} (t) = P ([φ (X) ⩽ t]),$

que l'on ramène à un événement sur $X$ en résolvant l'inégalité, puis on dérive. C'est ainsi qu'on traite $Y = X^{2}$ , $Y = e^{X}$ , ou $φ$ de classe $C^{1}$ strictement monotone.

7.2 Espérance et variance

Définition 7.5Espérance

$X$ de densité $f_{X}$ admet une espérance si et seulement si $\int_{- \infty}^{+ \infty} t f_{X} (t) d t$ converge absolument, et dans ce cas

$E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} t f_{X} (t) d t .$

◆Théorème 7.6Théorème de transfert

Soit $X$ de densité $f_{X}$ nulle hors de $] a, b [$ , et $g$ continue sur $] a, b [$ sauf en un nombre fini de points. Alors $g (X)$ admet une espérance si et seulement si $\int_{a}^{b} g (t) f_{X} (t) d t$ converge absolument, et

$E (g (X)) = \int_{a}^{b} g (t) f_{X} (t) d t .$

Définition 7.7Variance

Si $X$ admet un moment d'ordre $2$ ,

$V (X) = E ((X - E (X))^{2}) = E (X^{2}) - E (X)^{2}, σ (X) = V (X) .$

$X$ est centrée réduite si $E (X) = 0$ et $V (X) = 1$ .

iRemarqueExistence

Le programme admet que l'existence de $E (X)$ et de $V (X)$ équivaut à celle de $E (X^{2})$ . On teste donc une seule intégrale.

7.3 Lois usuelles

7.3.1 Loi uniforme

Définition 7.8Loi uniforme

$X ↪ U [a, b]$ lorsqu'elle admet pour densité

$f_{X} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{b - a} 0 si t \in [a, b], sinon.$

Alors $E (X) = \frac{a + b}{2}$ et $V (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}$ .

7.3.2 Loi exponentielle

Définition 7.9Loi exponentielle

$X ↪ E (λ)$ avec $λ > 0$ lorsqu'elle admet pour densité

$f_{X} (t) = {λ e^{- λ t} 0 si t ⩾ 0, sinon.$

Alors $F_{X} (t) = 1 - e^{- λ t}$ pour $t ⩾ 0$ , $E (X) = \frac{1}{λ}$ et $V (X) = \frac{1}{λ ^{2}}$ .

◆Théorème 7.10Absence de mémoire

Si $X ↪ E (λ)$ , alors pour tous $s, t ⩾ 0$ ,

$P ([X > s + t] ∣ [X > s]) = P ([X > t]) .$

Réciproquement, une variable à densité positive vérifiant cette propriété suit une loi exponentielle.

Démonstration

$P ([X > u]) = 1 - F_{X} (u) = e^{- λ u}$ . Donc

$P ([X > s + t] ∣ [X > s]) = \frac{P ([ X > s + t ])}{P ([ X > s ])} = \frac{e ^{- λ (s + t)}}{e ^{- λ s}} = e^{- λ t} = P ([X > t]) .∎$

7.3.3 Loi normale

Définition 7.11Loi normale

$X ↪ N (μ, σ^{2})$ avec $σ > 0$ lorsqu'elle admet pour densité

$f_{X} (t) = \frac{1}{σ 2 π} exp (- \frac{( t - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}), t \in R .$

Alors $E (X) = μ$ et $V (X) = σ^{2}$ .

◆Théorème 7.12Centrer et réduire

$X ↪ N (μ, σ^{2}) ⟺ X^{*} = \frac{X - μ}{σ} ↪ N (0, 1) .$

Plus généralement, si $X$ suit une loi normale et $a \neq = 0$ , alors $a X + b$ suit la loi $N (a μ + b, a^{2} σ^{2})$ .

◆Théorème 7.13Symétrie de la fonction de répartition

Si $Φ$ désigne la fonction de répartition de $N (0, 1)$ , alors

$\forall x \in R, Φ (- x) = 1 - Φ (x) .$

7.3.4 Loi gamma

Définition 7.14Fonction

Γ

et loi

γ

Pour $ν > 0$ , on pose $Γ (ν) = \int_{0}^{+ \infty} t^{ν - 1} e^{- t} d t$ .

$X$ suit la loi $γ (ν)$ lorsqu'elle admet pour densité

$f_{X} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{Γ ( ν )} t^{ν - 1} e^{- t} 0 si t > 0, si t ⩽ 0.$

◆Théorème 7.15Les deux relations utiles

$Γ (ν + 1) = ν Γ (ν), Γ (n + 1) = n! pour n \in N .$

En conséquence, si $X ↪ γ (ν)$ alors $E (X) = ν$ et $V (X) = ν$ .

Démonstration

La relation de récurrence s'obtient par intégration par parties sur le segment $[ε, A]$ , puis passage à la limite. Comme $Γ (1) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = 1$ , une récurrence donne $Γ (n + 1) = n!$ . Enfin, $E (X) = \frac{1}{Γ ( ν )} \int_{0}^{+ \infty} t^{ν} e^{- t} d t = \frac{Γ ( ν + 1 )}{Γ ( ν )} = ν$ .

Python : Vérifier une densité et une espérance


import numpy as np

def integrale(f, a, b, n=400000):        # methode des trapezes
    t = np.linspace(a, b, n)
    return np.trapezoid(f(t), t)

lam = 1.5
f = lambda t: lam*np.exp(-lam*t)*(t >= 0)

# 1.0        <- c'est une densite
print(round(integrale(f, 0, 60), 6))
# 0.66667  = 1/lam
print(round(integrale(lambda t: t*f(t), 0, 60), 5))
# 0.88889  = 2/lam^2
print(round(integrale(lambda t: t*t*f(t), 0, 60), 5))

La variance se déduit : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = 0, 88889 - 0, 6666 7^{2} = 0, 4444 = 1/ λ^{2}$ . Le calcul numérique corrobore les formules — il ne les démontre pas.

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