Exercices corrigés — Variables aléatoires à densité et lois usuelles (mathématiques approfondies (ECG 2e année))
35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Reconnaître une densité
Espérance, variance et leur existence
Lois uniforme, exponentielle et gamma
Loi normale
Transformations d'une variable à densité
- Une transformation affine
- Le carré d'une uniforme
- Le logarithme d'une uniforme
- L'inverse d'une uniforme
Reconnaître et exploiter une densité
- Une densité en forme de cloche polynomiale Exercice d'entraînement
- Retrouver une densité à partir de la fonction de répartition Exercice d'entraînement
- Une densité obtenue par une intégration par parties Exercice d'entraînement
Espérance, variance et transfert
- Trois espérances par le théorème de transfert Exercice d'entraînement
- La variance d'une loi exponentielle, démontrée Exercice d'entraînement
- Tous les moments d'une loi exponentielle Exercice d'entraînement
Lois usuelles
- La médiane d'une loi exponentielle Exercice d'entraînement
- Un intervalle à deux écarts-types Exercice d'entraînement
- L'espérance et la variance d'une loi gamma Exercice d'entraînement
- Une loi uniforme sur un long intervalle Application directe du cours
- Une attente exponentielle Application directe du cours
- La fonction gamma et la loi associée Application directe du cours
Transformations
- La valeur absolue d'une uniforme symétrique Exercice d'entraînement
- Le carré d'une variable normale centrée réduite Exercice d'entraînement
- Fabriquer une loi à partir d'une uniforme Exercice d'entraînement
- Multiplier une exponentielle par une constante Application directe du cours
- L'opposée d'une loi normale centrée réduite Application directe du cours
Densités
- Vérifier qu'une fonction est une densité Application directe du cours
- Une densité constante sur un segment Application directe du cours
- De la densité à la fonction de répartition Application directe du cours