n-uplets de variables aléatoires

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 · prépa ECG, 2e année

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Une seule variable aléatoire décrit une grandeur ; un $n$ -uplet en décrit plusieurs simultanément, et permet de poser la question qui intéresse toute la statistique : comment se comporte leur somme ?

Ce chapitre construit les outils qui donneront, au chapitre 11, la loi faible des grands nombres et le théorème limite central. Il aborde aussi le cas continu, où la somme de deux variables indépendantes se calcule par une intégrale : le produit de convolution.

AttentionCe qui n'est pas demandé

« L'étude, pour $n > 2$ , de $n$ -uplets à composantes non indépendantes n'est pas un objectif du programme. » Au-delà du couple, on suppose donc toujours l'indépendance. De même, « la théorie des familles sommables n'est pas au programme » : aucune difficulté de convergence ne sera soulevée.

8.1 Vecteurs aléatoires

Définition 8.1Loi d'un vecteur aléatoire

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ des variables aléatoires réelles sur un même espace. La loi du vecteur aléatoire $(X_{1}, \dots, X_{n})$ est donnée par la fonction

$F_{(X_{1}, \dots, X_{n})} (x_{1}, \dots, x_{n}) = P (i = 1 ⋂ n [X_{i} ⩽ x_{i}]) .$

Les lois des $X_{i}$ pris séparément sont les lois marginales.

Définition 8.2Indépendance mutuelle

$X_{1}, \dots, X_{n}$ sont mutuellement indépendantes lorsque, pour tous réels $x_{1}, \dots, x_{n}$ ,

$F_{(X_{1}, \dots, X_{n})} (x_{1}, \dots, x_{n}) = k = 1 \prod n F_{X_{k}} (x_{k}) .$

De façon équivalente, pour tous intervalles $I_{1}, \dots, I_{n}$ :

$P (i = 1 ⋂ n [X_{i} \in I_{i}]) = i = 1 \prod n P ([X_{i} \in I_{i}]) .$

Dans le cas discret, il suffit de vérifier l'égalité sur les singletons.

ImportantLa loi jointe est alors le produit des marginales

C'est tout ce que dit l'indépendance, et c'est considérable : connaître chaque variable séparément suffit alors à tout connaître. Sans indépendance, les lois marginales ne déterminent pas la loi jointe.

◆Théorème 8.3Lemme des coalitions

Si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont mutuellement indépendantes, alors toute variable aléatoire fonction de $X_{1}, \dots, X_{p}$ est indépendante de toute variable aléatoire fonction de $X_{p + 1}, \dots, X_{n}$ .

8.2 Covariance et variance d'une somme

Définition 8.4Covariance

Si $X$ et $Y$ admettent une variance,

$Cov (X, Y) = E ((X - E (X)) (Y - E (Y))) .$

◆Théorème 8.5Propriétés

Huygens : $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ .
Bilinéarité et symétrie, et $Cov (X, X) = V (X) ⩾ 0$ .
$V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)$ .
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent un moment d'ordre $2$ , alors $E (X Y) = E (X) E (Y)$ et $Cov (X, Y) = 0$ . La réciproque est fausse.

Définition 8.6Coefficient de corrélation

$ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )}$ , avec $∣ ρ (X, Y) ∣ ⩽ 1$ . L'égalité $∣ ρ ∣ = 1$ caractérise l'existence d'une relation affine $Y = a X + b$ presque sûrement.

AttentionCovariance nulle et indépendance sont deux choses

Soit $X$ uniforme sur ${- 1, 0, 1}$ et $Y = X^{2}$ . Alors $E (X) = 0$ et $E (X Y) = E (X^{3}) = 0$ , donc $Cov (X, Y) = 0$ . Pourtant $Y$ est une fonction déterministe de $X$ : les deux variables sont on ne peut moins indépendantes. La covariance ne voit que le lien linéaire.

◆Théorème 8.7Somme de

n

variables

$E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i})$ sans hypothèse. Si de plus les $X_{i}$ sont mutuellement indépendantes,

$V (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n V (X_{i}) .$

8.3 Somme de deux variables à densité

◆Théorème 8.8Produit de convolution

Soient $X$ et $Y$ indépendantes, de densités $f_{X}$ et $f_{Y}$ . Si la fonction

$h (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (t) f_{Y} (x - t) d t$

est définie et continue sauf en un nombre fini de points, alors c'est une densité de $Z = X + Y$ . C'est notamment le cas si $f_{X}$ ou $f_{Y}$ est bornée.

◆Théorème 8.9Deux stabilités

Si $X_{1} ↪ γ (ν_{1})$ et $X_{2} ↪ γ (ν_{2})$ sont indépendantes, alors $X_{1} + X_{2} ↪ γ (ν_{1} + ν_{2})$ .
Une somme de variables indépendantes suivant des lois normales suit une loi normale : si $X_{i} ↪ N (μ_{i}, σ_{i}^{2})$ indépendantes, alors $\sum X_{i} ↪ N (\sum μ_{i}, \sum σ_{i}^{2})$ .

ImportantSomme de

n

lois exponentielles

Une $E (1)$ est exactement une $γ (1)$ . Donc la somme de $n$ variables indépendantes de loi $E (1)$ suit la loi $γ (n)$ . Pour un paramètre $λ$ quelconque, on se ramène au cas $λ = 1$ en multipliant par $λ$ : si $X ↪ E (λ)$ alors $λ X ↪ E (1)$ .

Python : Vérifier une convolution par simulation


import random, math

random.seed(3)
N = 300000
somme = [random.expovariate(1.0) + random.expovariate(1.0)
         for _ in range(N)]

moy = sum(somme)/N
var = sum((s - moy)**2 for s in somme)/N
print(round(moy, 3), round(var, 3))    # proche de 2.0 et 2.0

Une $γ (2)$ a pour espérance $2$ et pour variance $2$ : la simulation les retrouve. Elle corrobore la stabilité annoncée — elle ne la démontre pas, deux lois différentes pouvant partager leurs deux premiers moments.

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