n-uplets de variables aléatoires
Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 8 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Une seule variable aléatoire décrit une grandeur ; un -uplet en décrit plusieurs simultanément, et permet de poser la question qui intéresse toute la statistique : comment se comporte leur somme ?
Ce chapitre construit les outils qui donneront, au chapitre 11, la loi faible des grands nombres et le théorème limite central. Il aborde aussi le cas continu, où la somme de deux variables indépendantes se calcule par une intégrale : le produit de convolution.
« L'étude, pour , de -uplets à composantes non indépendantes n'est pas un objectif du programme. » Au-delà du couple, on suppose donc toujours l'indépendance. De même, « la théorie des familles sommables n'est pas au programme » : aucune difficulté de convergence ne sera soulevée.
8.1 Vecteurs aléatoires
Soient des variables aléatoires réelles sur un même espace. La loi du vecteur aléatoire est donnée par la fonction
Les lois des pris séparément sont les lois marginales.
sont mutuellement indépendantes lorsque, pour tous réels ,
De façon équivalente, pour tous intervalles :
Dans le cas discret, il suffit de vérifier l'égalité sur les singletons.
C'est tout ce que dit l'indépendance, et c'est considérable : connaître chaque variable séparément suffit alors à tout connaître. Sans indépendance, les lois marginales ne déterminent pas la loi jointe.
Exercices du chapitre
- Espérance et variance d'une somme corrigé
- Variance d'une moyenne corrigé
- Variance d'une différence corrigé
- Variance d'une somme non indépendante corrigé
- Une covariance à calculer corrigé
- Le coefficient de corrélation corrigé