Endomorphismes symétriques et théorème spectral

Cours complet · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 · prépa ECG, 2e année

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Le chapitre 3 a montré qu'un endomorphisme n'est pas toujours diagonalisable, et le chapitre 4 a muni l'espace d'un produit scalaire. En croisant les deux, on obtient le résultat le plus fort de l'année : un endomorphisme symétrique est toujours diagonalisable, et dans une base orthonormée.

C'est le théorème spectral. Il sera l'outil décisif du chapitre 10 — c'est lui qui garantit que la matrice hessienne a des valeurs propres réelles, et donc que le critère d'ordre $2$ a un sens.

AttentionCe que le programme demande sur les matrices orthogonales

Rien de plus que $P^{- 1} =^{t} P$ . La conclusion du théorème spectral s'écrit donc $D =^{t} P A P$ , ce qui est commode : inverser la matrice de passage, c'est la transposer.

9.1 Endomorphismes symétriques

Définition 9.1Endomorphisme symétrique

Soit $E$ un espace euclidien. Un endomorphisme $f$ de $E$ est symétrique lorsque

$\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y) ⟩ .$

◆Théorème 9.2Traduction matricielle

$f$ est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

Attention« Dans une base orthonormée » n'est pas facultatif

La matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base quelconque n'a aucune raison d'être symétrique. C'est l'orthonormalité qui fait le lien, via $⟨ x, y ⟩ =^{t} X Y$ . Une matrice symétrique lue dans une base oblique ne dit rien.

◆Théorème 9.3Stabilité de l'orthogonal

Si $f$ est symétrique et si $F$ est un sous-espace stable par $f$ (c'est-à-dire $f (F) \subset F$ ), alors $F^{⊥}$ est aussi stable par $f$ .

Démonstration

Soit $x \in F^{⊥}$ . Pour tout $y \in F$ , comme $f (y) \in F$ ,

$⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y) ⟩ = 0$

puisque $x$ est orthogonal à tout $F$ . Donc $f (x) \in F^{⊥}$ .

◆Théorème 9.4Orthogonalité des sous-espaces propres

Les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux. En particulier, des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Démonstration

Soient $f (x) = λ x$ et $f (y) = μ y$ avec $λ \neq = μ$ . Alors

$λ ⟨ x, y ⟩ = ⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y)⟩ = μ ⟨ x, y ⟩,$

donc $(λ - μ) ⟨ x, y ⟩ = 0$ . Comme $λ \neq = μ$ , on a $⟨ x, y ⟩ = 0$ .

9.2 Projection orthogonale

Définition 9.5Projection orthogonale

Soit $F$ un sous-espace d'un espace euclidien $E$ . Comme $E = F \oplus F^{⊥}$ , tout $x$ s'écrit d'une unique façon $x = x_{F} + x_{⊥}$ avec $x_{F} \in F$ et $x_{⊥} \in F^{⊥}$ . L'application $p_{F} : x \mapsto x_{F}$ est la projection orthogonale sur $F$ .

◆Théorème 9.6Calcul en base orthonormée

Si $(u_{1}, \dots, u_{k})$ est une base orthonormée de $F$ , alors

$p_{F} (x) = i = 1 \sum k ⟨ x, u_{i} ⟩ u_{i} .$

◆Théorème 9.7Caractérisation par la symétrie

Un projecteur $p$ (c'est-à-dire $p \circ p = p$ ) est un projecteur orthogonal si et seulement si c'est un endomorphisme symétrique.

◆Théorème 9.8Caractérisation par minimisation

Pour tout $x \in E$ et tout $v \in F$ ,

$v = p_{F} (x) ⟺ ∥ x - v ∥ = u \in F min ∥ x - u ∥.$

Autrement dit, $p_{F} (x)$ est le point de $F$ le plus proche de $x$ .

Démonstration

Pour $u \in F$ , écrivons $x - u = (x - p_{F} (x)) + (p_{F} (x) - u)$ . Le premier terme est dans $F^{⊥}$ , le second dans $F$ : ils sont orthogonaux, et Pythagore donne

$∥ x - u ∥^{2} = x - p_{F} (x)^{2} + p_{F} (x) - u^{2} ⩾ x - p_{F} (x)^{2},$

avec égalité si et seulement si $u = p_{F} (x)$ .

ImportantLes moindres carrés sont une projection

Minimiser $∥ A X - B ∥$ pour $A \in M_{n, p} (R)$ de rang $p$ revient à chercher, dans le sous-espace $F = {A X ∣ X \in M_{p, 1} (R)}$ , le point le plus proche de $B$ — c'est-à-dire $p_{F} (B)$ . La droite de régression du chapitre 7 des appliquées n'est rien d'autre. Ce résultat n'est pas exigible, mais il éclaire d'un coup toute la statistique.

9.3 Le théorème spectral

◆Théorème 9.9Théorème spectral, version endomorphisme

Soit $E$ un espace euclidien et $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ . Alors $f$ est diagonalisable, et il existe une base orthonormée de $E$ formée de vecteurs propres de $f$ . Ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.

◆Théorème 9.10Version matricielle

Toute matrice symétrique réelle $A$ est diagonalisable, et l'on peut choisir la matrice de passage orthogonale :

$\exists P orthogonale, \exists D diagonale, D = P^{- 1} A P =^{t} P A P .$

iRemarqueRésultat admis

Le programme l'admet. Il faut en retenir trois choses : diagonalisable toujours, valeurs propres réelles, base propre orthonormée. Aucune des trois n'est vraie pour une matrice quelconque.

Exemple 9.11Une diagonalisation orthogonale

Soit $A = (3113)$ , symétrique. On vérifie

$A (11) = 4 (11), A (1 - 1) = 2 (1 - 1) .$

Les deux directions propres sont orthogonales, conformément au théorème. En les normalisant :

$P = \frac{1}{2} (11 1 - 1), D = (4002),^{t} P P = I_{2} .$

On vérifie $A P = P D = \frac{1}{2} (44 2 - 2)$ , et $P$ étant orthogonale, $D =^{t} P A P$ sans avoir à inverser quoi que ce soit.

Python : Diagonaliser orthogonalement


import numpy as np

A = np.array([[3., 1.], [1., 3.]])
# eigh : la version des matrices SYMETRIQUES
vp, P = np.linalg.eigh(A)

print(vp)                          # [2. 4.]
print(np.allclose(P.T @ P, np.eye(2)))    # True  <- P est orthogonale
print(np.allclose(P.T @ A @ P, np.diag(vp))) # True  <- D = tP A P

eigh exploite la symétrie : elle rend des valeurs propres réelles triées et une matrice de passage déjà orthonormée. Sur une matrice non symétrique, elle donnerait un résultat faux sans prévenir — elle ne lit que la moitié de la matrice.

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