Endomorphismes symétriques et théorème spectral
Cours · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 · prépa ECG, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun
Le chapitre 3 a montré qu'un endomorphisme n'est pas toujours diagonalisable, et le chapitre 4 a muni l'espace d'un produit scalaire. En croisant les deux, on obtient le résultat le plus fort de l'année : un endomorphisme symétrique est toujours diagonalisable, et dans une base orthonormée.
C'est le théorème spectral. Il sera l'outil décisif du chapitre 10 — c'est lui qui garantit que la matrice hessienne a des valeurs propres réelles, et donc que le critère d'ordre a un sens.
Rien de plus que . La conclusion du théorème spectral s'écrit donc , ce qui est commode : inverser la matrice de passage, c'est la transposer.
9.1 Endomorphismes symétriques
Soit un espace euclidien. Un endomorphisme de est symétrique lorsque
est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.
La matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base quelconque n'a aucune raison d'être symétrique. C'est l'orthonormalité qui fait le lien, via . Une matrice symétrique lue dans une base oblique ne dit rien.
Si est symétrique et si est un sous-espace stable par (c'est-à-dire ), alors est aussi stable par .
Démonstration
Soit . Pour tout , comme ,
puisque est orthogonal à tout . Donc .
Exercices du chapitre
- Reconnaître un endomorphisme symétrique corrigé
- Symétrique dans quelle base ? corrigé
- Sous-espaces propres orthogonaux corrigé
- Stabilité de l'orthogonal corrigé
- Une projection orthogonale corrigé
- Le point le plus proche corrigé