Exercices corrigés — Endomorphismes symétriques et théorème spectral (mathématiques approfondies (ECG 2e année))
35 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Endomorphismes symétriques
- Reconnaître un endomorphisme symétrique
- Symétrique dans quelle base ?
- Sous-espaces propres orthogonaux
- Stabilité de l'orthogonal
- La symétrie se vérifie sur une base Exercice d'entraînement
- Somme, multiple et composée Exercice d'entraînement
- Symétrique et de carré nul Exercice d'entraînement
Projection orthogonale et distance
- Une projection orthogonale
- Le point le plus proche
- Le projeté sur un plan
- Distance à un plan
- Projeter sur un plan donné par une équation Exercice d'entraînement
- Une distance obtenue par minimisation Exercice d'entraînement
- Deux chemins vers le même projeté Exercice d'entraînement
- Un projecteur qui n'est pas orthogonal Exercice d'entraînement
Projecteurs et moindres carrés
Théorème spectral et matrices orthogonales
- Une matrice orthogonale
- Diagonalisation orthogonale
- Diagonaliser orthogonalement en dimension trois
- Reconstruire une matrice symétrique
Théorème spectral et diagonalisation orthogonale
- Diagonaliser orthogonalement une matrice de trace nulle Exercice d'entraînement
- Une matrice symétrique par blocs Exercice d'entraînement
- Les puissances d'une matrice symétrique Exercice d'entraînement
- Une racine carrée symétrique Exercice d'entraînement
- Le spectre encadre la fonction quadratique Exercice d'entraînement
Reconnaître et calculer
- Symétrique, donc diagonalisable Exercice supplémentaire
- Une matrice orthogonale Exercice supplémentaire
- Produit scalaire et normes Exercice supplémentaire
Projections simples
- Projeter sur un axe de coordonnées Exercice supplémentaire
- Le projeté sur une droite du plan Exercice supplémentaire
- Un projecteur lu sur sa matrice Exercice supplémentaire
Base propre orthonormée
- Deux vecteurs propres orthogonaux Exercice supplémentaire
- Ranger une base propre en colonnes Exercice supplémentaire