Le point le plus proche

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Projection orthogonale et distance

Énoncé

Dans $R^{3}$ , soit $F = Vect ((1, 1, 0))$ . Quelle est la distance de $(3, 1, 2)$ à $F$ ? Quel point de $F$ la réalise ?

Corrigé

Le point le plus proche est $p_{F} ((3, 1, 2)) = (2, 2, 0)$ , par le théorème de minimisation.

Distance. $∥ (3, 1, 2) - (2, 2, 0) ∥ = ∥ (1, - 1, 2) ∥ = 1 + 1 + 4 = 6 \approx 2, 449$ .

Contrôle par Pythagore. $∥ (3, 1, 2) ∥^{2} = 9 + 1 + 4 = 14$ , et $∥ p_{F} (x) ∥^{2} = 4 + 4 = 8$ . Or $8 + 6 = 14$ : la décomposition orthogonale est vérifiée.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.