Diagonalisation orthogonale

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Théorème spectral et matrices orthogonales

Énoncé

Diagonaliser orthogonalement $A = (5225)$ .

Corrigé

Éléments propres. $A (11) = 7 (11)$ et $A (1 - 1) = 3 (1 - 1)$ . Les deux directions sont orthogonales, comme le veut le théorème.

Normalisation.

$P = \frac{1}{2} (11 1 - 1), D = (7003) .$

Vérifications. $^{t} P P = \frac{1}{2} (2002) = I_{2}$ : $P$ est orthogonale. Et $A P = P D = \frac{1}{2} (77 3 - 3)$ .

Contrôle par la trace. $5 + 5 = 10 = 7 + 3$ .

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