Diagonalisation orthogonale

Éléments propres. $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=7\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. Les deux directions sont orthogonales, comme le veut le théorème.

Normalisation.

$$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 3\end{array}\right).$$

Vérifications. ${}^{t}PP=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=I_2$ : $P$ est orthogonale. Et $AP=PD=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 7& -3\end{array}\right)$.

Contrôle par la trace. $5+5=10=7+3$.