Ranger une base propre en colonnes

Vérifier l'orthogonalité. Les trois produits scalaires sont nuls : $⟨(1,1,0),(1,-1,0)⟩=1-1=0$, $⟨(1,1,0),(0,0,1)⟩=0$ et $⟨(1,-1,0),(0,0,1)⟩=0$. La famille est donc orthogonale, et comme elle compte trois vecteurs non nuls dans un espace de dimension $3$, c'est une base.

Normaliser. Les deux premiers vecteurs sont de norme $\sqrt{2}$, le troisième de norme $1$ : $$u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0),u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),u_3=(0,0,1).$$

Les matrices. En rangeant ces vecteurs en colonnes : $$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right).$$

Le contrôle. ${}^{t}PP=I_3$, ce qu'on lit sur les colonnes : chacune est de norme $1$ et elles sont deux à deux orthogonales. On a alors $D={}^{t}PAP$ sans avoir à inverser quoi que ce soit.

La remarque utile. Ici les deux vecteurs propres associés à la valeur propre double $2$ étaient déjà orthogonaux entre eux. Rien ne le garantissait : à l'intérieur d'un même sous-espace propre, il faut le vérifier, et l'obtenir par un procédé d'orthonormalisation si ce n'est pas le cas.