Symétrique, donc diagonalisable

Le critère. Une matrice est symétrique lorsque ${}^{t}M=M$, c'est-à-dire lorsque les coefficients placés symétriquement par rapport à la diagonale sont égaux : $m_{i,j}=m_{j,i}$.

Examen. $A$ est symétrique : les deux coefficients hors diagonale valent $5$. $B$ ne l'est pas : on lit $5$ en haut à droite et $-5$ en bas à gauche. $C$ est symétrique : on vérifie $c_{1,2}=c_{2,1}=1$, $c_{1,3}=c_{3,1}=2$ et $c_{2,3}=c_{3,2}=0$.

Ce qu'on en déduit. Par le théorème spectral, $A$ et $C$ sont diagonalisables, leurs valeurs propres sont réelles, et il existe pour chacune une base orthonormée de vecteurs propres. Rien de tel n'est promis pour $B$ : on ne peut ni affirmer ni infirmer sa diagonalisabilité sans l'étudier.

Le rappel qui va avec. Cette lecture n'est légitime que parce que la base choisie est orthonormée — ici la base canonique de ${\mathbb{R}}^2$ ou de ${\mathbb{R}}^3$. La matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base oblique n'a aucune raison d'être symétrique.