Une projection orthogonale

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Projection orthogonale et distance

Énoncé

Dans $R^{3}$ , soit $F = Vect ((1, 1, 0))$ . Calculer $p_{F} ((3, 1, 2))$ .

Corrigé

Base orthonormée de $F$ . $∥ (1, 1, 0) ∥ = 2$ , donc $u = \frac{1}{2} (1, 1, 0)$ .

Projection. $⟨(3, 1, 2), u ⟩ = \frac{3 + 1 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 22$ . Donc

$p_{F} ((3, 1, 2)) = 22 \times \frac{1}{2} (1, 1, 0) = (2, 2, 0) .$

Vérification. Le résidu $(3, 1, 2) - (2, 2, 0) = (1, - 1, 2)$ doit être orthogonal à $(1, 1, 0)$ : $1 - 1 + 0 = 0$ . C'est le cas.

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