Stabilité de l'orthogonal

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Endomorphismes symétriques

Énoncé

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $R^{3}$ et $F = Vect ((1, 0, 1))$ un sous-espace stable par $f$ . Montrer que le plan $F^{⊥}$ est stable, et en déduire que $(1, 0, 1)$ est vecteur propre.

Corrigé

Stabilité de $F^{⊥}$ . C'est le théorème du cours : pour $x \in F^{⊥}$ et $y \in F$ , $⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y)⟩ = 0$ puisque $f (y) \in F$ . Donc $f (x) \in F^{⊥}$ .

Vecteur propre. $F$ est une droite stable par $f$ : l'image de $(1, 0, 1)$ appartient à $F$ , donc lui est proportionnelle. Il existe $λ$ tel que $f ((1, 0, 1)) = λ (1, 0, 1)$ : c'est un vecteur propre.

Ce que cela donne. $R^{3} = F \oplus F^{⊥}$ avec les deux morceaux stables : on peut étudier $f$ séparément sur une droite et sur un plan. C'est exactement le mécanisme de la démonstration du théorème spectral — que le programme admet, mais dont on vient de voir le premier pas.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.