Projeter sur un axe de coordonnées

Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Projections simples · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans $R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, soit $F = Vect ((1, 0, 0))$ . Calculer le projeté orthogonal de $u = (4, - 1, 3)$ sur $F$ , puis la distance de $u$ à $F$ .

Corrigé

La formule. Le vecteur $e_{1} = (1, 0, 0)$ est de norme $1$ , donc il constitue à lui seul une base orthonormée de $F$ , et $p_{F} (u) = ⟨ u, e_{1} ⟩ e_{1} .$

Le calcul. $⟨ u, e_{1} ⟩ = 4$ , donc $p_{F} (u) = 4 (1, 0, 0) = (4, 0, 0) .$

La distance. Le vecteur résiduel est $u - p_{F} (u) = (0, - 1, 3)$ , d'où $d (u, F) = ∥ (0, - 1, 3) ∥ = 0 + 1 + 9 = 10 \approx 3, 16.$

Le contrôle. Le résidu $(0, - 1, 3)$ doit être orthogonal à $F$ : $⟨(0, - 1, 3), (1, 0, 0)⟩ = 0$ . C'est bien le cas.

Ce que l'exemple montre. Projeter orthogonalement sur un axe de coordonnées, c'est simplement effacer les autres coordonnées. Toute la machinerie du chapitre — base orthonormée, produit scalaire, pied de la perpendiculaire — se réduit ici à ce geste, et c'est le cas particulier qu'il faut avoir en tête pour comprendre les autres.

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