Un projecteur qui n'est pas orthogonal

C'est un projecteur. On calcule $$M^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=M,$$ donc $p\circ p=p$ : $p$ est un projecteur.

Image et noyau. Pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $p(x,y)=(x+y,0)$. L'image est donc contenue dans $\mathrm{Vect}((1,0))$, et elle le contient puisque $p(1,0)=(1,0)$ : $\mathrm{Im}p=\mathrm{Vect}((1,0))$. Le noyau est l'ensemble des $(x,y)$ tels que $x+y=0$, c'est-à-dire $\mathrm{Ker}p=\mathrm{Vect}((1,-1))$.

Ce n'est pas une projection orthogonale. Deux arguments, chacun suffisant.

Par la matrice. La base canonique est orthonormée, et $M$ n'est pas symétrique (le coefficient en position $(1,2)$ vaut $1$, celui en position $(2,1)$ vaut $0$). Or un projecteur est orthogonal si et seulement s'il est symétrique.

Par la géométrie. Une projection orthogonale a un noyau égal à l'orthogonal de son image. Ici $⟨(1,0),(1,-1)⟩=1\ne 0$ : le noyau n'est pas orthogonal à l'image. On projette bien sur l'axe des abscisses, mais parallèlement à la seconde bissectrice, et non perpendiculairement.

Le contraste utile. Le projeté de $(0,1)$ est $(1,0)$, à distance $\sqrt{2}$ du point de départ, alors que le point de l'image le plus proche de $(0,1)$ est l'origine, à distance $1$. Un projecteur non orthogonal ne minimise pas la distance.