Le projeté sur une droite du plan

Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Projections simples · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans $R^{2}$ muni du produit scalaire canonique, soit $F = Vect ((3, 4))$ . Calculer le projeté orthogonal de $u = (5, 0)$ sur $F$ , puis la distance de $u$ à $F$ .

Corrigé

La formule. Pour une droite $F = Vect (a)$ avec $a \neq = 0$ , $p_{F} (u) = \frac{⟨ u , a ⟩}{∥ a ∥ ^{2}} a .$

Le calcul. Ici $a = (3, 4)$ , donc $⟨ u, a ⟩ = 5 \times 3 + 0 \times 4 = 15$ et $∥ a ∥^{2} = 9 + 16 = 25$ . Le coefficient vaut $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ , d'où $p_{F} (u) = \frac{3}{5} (3, 4) = (\frac{9}{5}, \frac{12}{5}) .$

La distance. Le résidu est $u - p_{F} (u) = (5 - \frac{9}{5}, - \frac{12}{5}) = (\frac{16}{5}, - \frac{12}{5}),$ de norme $\frac{256 + 144}{5} = \frac{400}{5} = \frac{20}{5} = 4$ . Donc $d (u, F) = 4$ .

Les contrôles. Le résidu est bien orthogonal à $a$ : $\frac{16}{5} \times 3 - \frac{12}{5} \times 4 = \frac{48 - 48}{5} = 0$ . Et Pythagore se vérifie : $∥ p_{F} (u) ∥^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = ∥ u ∥^{2}$ .

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