Somme, multiple et composée

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Endomorphismes symétriques

Énoncé

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes symétriques d'un espace euclidien $E$ , et $λ \in R$ . Montrer que $f + g$ et $λ f$ sont symétriques, puis que $f \circ g$ est symétrique si et seulement si $f \circ g = g \circ f$ .

Corrigé

Somme et multiple. Pour tous $x, y \in E$ , la bilinéarité du produit scalaire donne $⟨(f + g) (x), y ⟩ = ⟨ f (x), y ⟩ + ⟨ g (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y)⟩ + ⟨ x, g (y)⟩ = ⟨ x, (f + g) (y)⟩,$ et de même $⟨ λ f (x), y ⟩ = λ ⟨ x, f (y)⟩ = ⟨ x, λ f (y)⟩$ . Les endomorphismes symétriques forment donc un sous-espace vectoriel.

Le sens direct. Supposons $f \circ g$ symétrique. Pour tous $x, y$ , en faisant passer $f$ puis $g$ de l'autre côté : $⟨ f (g (x)), y ⟩ = ⟨ g (x), f (y)⟩ = ⟨ x, g (f (y))⟩ .$ Or la symétrie supposée de $f \circ g$ donne $⟨ f (g (x)), y ⟩ = ⟨ x, f (g (y))⟩$ . Donc $\forall x, y \in E, ⟨ x, (f \circ g - g \circ f) (y) ⟩ = 0.$ En prenant $x = (f \circ g - g \circ f) (y)$ , on obtient $∥ (f \circ g - g \circ f) (y) ∥^{2} = 0$ , donc $(f \circ g) (y) = (g \circ f) (y)$ pour tout $y$ : les deux composées coïncident.

La réciproque. Si $f \circ g = g \circ f$ , alors pour tous $x, y$ : $⟨ f (g (x)), y ⟩ = ⟨ x, g (f (y))⟩ = ⟨ x, f (g (y))⟩,$ donc $f \circ g$ est symétrique.

Le point délicat. C'est l'astuce du choix $x = (f \circ g - g \circ f) (y)$ : un vecteur orthogonal à tout l'espace, donc à lui-même, est nul. On s'en resservira souvent.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.