Le spectre encadre la fonction quadratique

Ce qu'on emploie. Le théorème spectral : il existe une base orthonormée $(u_1,\dots ,u_n)$ de ${\mathbb{R}}^n$ formée de vecteurs propres de $A$, associés aux valeurs propres ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$.

Décomposer $X$. Écrivons $X={\sum }_{i=1}^n{c}_i{u}_i$, où $c_i=⟨X,u_i⟩$. La base étant orthonormée, le théorème de Pythagore donne $$\Vert X{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{c}_i^2.$$

Calculer la fonction quadratique. Par linéarité, $AX={\sum }_i{c}_i{\lambda }_i{u}_i$, puis par orthonormalité de la base : $${}^{t}XAX=⟨X,AX⟩=⟨\sum _i{c}_i{u}_i,\sum _j{c}_j{\lambda }_j{u}_j⟩=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{c}_i^2.$$ Tous les termes croisés disparaissent, car $⟨u_i,u_j⟩=0$ pour $i\ne j$.

Encadrer. Chaque $c_i^2$ est positif, donc ${\lambda }_{\min }{c}_i^2⩽{\lambda }_i{c}_i^2⩽{\lambda }_{\max }{c}_i^2$. En sommant ces $n$ inégalités : $${\lambda }_{\min }\sum _i{c}_i^2⩽\sum _i{\lambda }_i{c}_i^2⩽{\lambda }_{\max }\sum _i{c}_i^2,$$ ce qui est exactement l'encadrement voulu.

Les cas d'égalité. Prendre $X=u_1$ associé à ${\lambda }_{\min }$ donne l'égalité à gauche ; un vecteur propre associé à ${\lambda }_{\max }$ la donne à droite. Les bornes sont donc atteintes, et l'encadrement est optimal.

À quoi cela sert. Si toutes les valeurs propres sont strictement positives, alors ${}^{t}XAX>0$ pour tout $X$ non nul : c'est exactement le critère du chapitre 10 qui fait d'un point critique un minimum local.