Les puissances d'une matrice symétrique

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Théorème spectral et diagonalisation orthogonale

Énoncé

Soit $A = (3113)$ . Diagonaliser $A$ dans une base orthonormée, puis calculer $A^{n}$ pour tout entier $n ⩾ 0$ .

Corrigé

Diagonalisation orthogonale. On vérifie directement $A (11) = 4 (11), A (1 - 1) = 2 (1 - 1) .$ Les deux vecteurs propres sont orthogonaux — le théorème spectral l'annonçait — et de norme $2$ . En posant $P = \frac{1}{2} (11 1 - 1), D = (4002),$ on a $^{t} P P = I_{2}$ , donc $P^{- 1} =^{t} P$ et $A = P D^{t} P$ .

Le passage aux puissances. Comme $^{t} P P = I_{2}$ , les facteurs intermédiaires se télescopent : $A^{n} = (P D^{t} P)^{n} = P D^{n}^{t} P, D^{n} = (4^{n} 0 0 2^{n}) .$ Ici $P =^{t} P$ , ce qui simplifie encore le calcul : $A^{n} = \frac{1}{2} (11 1 - 1) (4^{n} 0 0 2^{n}) (11 1 - 1) = \frac{1}{2} (4^{n} + 2^{n} 4^{n} - 2^{n} 4^{n} - 2^{n} 4^{n} + 2^{n}) .$

Les contrôles. Pour $n = 0$ on trouve $\frac{1}{2} (2002) = I_{2}$ ; pour $n = 1$ , $\frac{1}{2} (6226) = A$ . Et le résultat reste symétrique pour tout $n$ , ce qui est nécessaire puisque $^{t} (A^{n}) = (^{t} A)^{n} = A^{n}$ .

Ce que l'orthogonalité apporte. Sans elle, il faudrait inverser $P$ . Ici transposer suffit : c'est tout le confort que le théorème spectral procure.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.