Sous-espaces propres orthogonaux

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Endomorphismes symétriques

Énoncé

Soit $A$ symétrique admettant $(1, 2, 1)$ comme vecteur propre pour $3$ et $(1, - 1, 1)$ pour $- 2$ . Ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux ? Que peut-on dire du troisième vecteur propre ?

Corrigé

Orthogonalité. $⟨(1, 2, 1), (1, - 1, 1)⟩ = 1 - 2 + 1 = 0$ . Oui — et c'est le théorème qui l'imposait, les valeurs propres $3$ et $- 2$ étant distinctes.

Le troisième. $A$ étant symétrique, elle est diagonalisable dans une base orthonormée : le troisième vecteur propre est orthogonal aux deux autres. Il engendre donc $Vect ((1, 2, 1), (1, - 1, 1))^{⊥}$ , une droite.

Le trouver. Il faut $x + 2 y + z = 0$ et $x - y + z = 0$ . En soustrayant : $3 y = 0$ , donc $y = 0$ et $z = - x$ . Le troisième vecteur propre est $(1, 0, - 1)$ , à un facteur près.

Vérification. $⟨(1, 0, - 1), (1, 2, 1)⟩ = 1 + 0 - 1 = 0$ et $⟨(1, 0, - 1), (1, - 1, 1)⟩ = 1 + 0 - 1 = 0$ .

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