Un projecteur symétrique

Projecteur.

$$M^2=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 10& 20\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=M.$$

Orthogonal. $M$ est symétrique, et un projecteur symétrique est un projecteur orthogonal.

Image. Les colonnes de $M$ sont proportionnelles à $(1,2)$, donc $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Vect}((1,2))$.

Vérification. $M\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}5\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ : les vecteurs de l'image sont fixes, comme il se doit. Et $M\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ : la direction orthogonale est écrasée.