Reconstruire une matrice symétrique

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 9 — Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Théorème spectral et matrices orthogonales

Énoncé

Soit $f$ l'endomorphisme de $R^{3}$ dont $D = Vect ((1, 1, 1))$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $2$ , et $D^{⊥}$ le sous-espace propre associé à la valeur propre $5$ . Écrire la matrice de $f$ dans la base canonique.

Corrigé

L'écriture qui évite tout système. Notons $p$ la projection orthogonale sur $D$ . Comme $R^{3} = D \oplus D^{⊥}$ , tout $x$ s'écrit $x = p (x) + (x - p (x))$ , et par hypothèse

$f (x) = 2 p (x) + 5 (x - p (x)) = 5 x - 3 p (x) .$

La matrice cherchée est donc $M = 5 I_{3} - 3 P$ , où $P$ est la matrice de $p$ .

La matrice de la projection. Le vecteur $u = \frac{1}{3} (1, 1, 1)$ est unitaire, et $p (x) = ⟨ x, u ⟩ u = \frac{1}{3} ⟨ x, (1, 1, 1)⟩ (1, 1, 1)$ . Tous les coefficients de $P$ valent donc $\frac{1}{3}$ : $P = \frac{1}{3} J$ , avec $J$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$ .

La matrice cherchée.

$M = 5 I_{3} - J = 4 - 1 - 1 - 1 4 - 1 - 1 - 1 4,$

symétrique, comme le théorème spectral l'imposait.

Contrôles. $M 111 = 222$ : la valeur propre $2$ est là. Et $M 1 - 1 0 = 5 - 5 0$ , pour un vecteur du plan $D^{⊥}$ : la valeur propre $5$ aussi. Enfin la somme des coefficients diagonaux vaut $12 = 2 + 5 + 5$ .

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