Une matrice orthogonale

Le calcul. La matrice $P$ est symétrique, donc ${}^{t}P=P$, et $${}^{t}PP=P^2=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=I_2.$$ La condition ${}^{t}PP=I_2$ est vérifiée : $P$ est orthogonale.

L'inverse. Une matrice orthogonale a pour inverse sa transposée : $$P^{-1}={}^{t}P=P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

La lecture géométrique. Les deux colonnes de $P$ sont $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ et $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ : chacune est de norme $1$, et leur produit scalaire vaut $\frac{1}{2}(1-1)=0$. Elles forment donc une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^2$ — c'est exactement ce que signifie « orthogonale » pour une matrice, et c'est la façon la plus rapide de le vérifier à vue.

Pourquoi cela sert. Dans une diagonalisation orthogonale $D={}^{t}PAP$, on n'a jamais à inverser la matrice de passage : il suffit de la transposer.