Une racine carrée symétrique

Diagonaliser $A$. On vérifie $A{}^t(1,1)=9{}^t(1,1)$ et $A{}^t(1,-1)=1\cdot {}^t(1,-1)$ : le spectre est $\{9,1\}$, avec des directions propres orthogonales. En posant $$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$ on a $P$ orthogonale et $A=PD{}^{t}P$.

Construire $B$. Les valeurs propres de $A$ étant positives, on peut poser $$\Delta =\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right),B=P\Delta {}^{t}P.$$ Alors $B^2=P\Delta {}^{t}PP\Delta {}^{t}P=P{\Delta }^2{}^{t}P=PD{}^{t}P=A$, en utilisant ${}^{t}PP=I_2$. De plus ${}^{t}B=P{}^t\Delta {}^{t}P=B$ : $B$ est symétrique, et ses valeurs propres $3$ et $1$ sont positives.

Le calcul explicite. Comme $P={}^{t}P$ ici, $$B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

Vérification directe. ${\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)=A$. La construction est confirmée sans passer par la théorie.

La condition qui compte. Si une valeur propre de $A$ avait été strictement négative, aucune matrice symétrique réelle $B$ n'aurait pu convenir : les valeurs propres de $B^2$ sont les carrés de celles de $B$, donc toujours positives.