Produit scalaire et normes

Le produit scalaire canonique. C'est la somme des produits des coordonnées : $$⟨u,v⟩=1\times 2+2\times (-1)+2\times 2=2-2+4=4.$$

Les normes. $$\Vert u\Vert =\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3,\Vert v\Vert =\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3.$$

Orthogonaux ? Non : deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul, et celui-ci vaut $4$.

Un contrôle par l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Elle affirme $|⟨u,v⟩|⩽\Vert u\Vert \Vert v\Vert$, soit ici $4⩽9$ : les valeurs trouvées sont cohérentes. L'égalité n'étant pas atteinte, les deux vecteurs ne sont pas colinéaires — ce que l'on vérifie aussi directement, $(1,2,2)$ et $(2,-1,2)$ n'étant pas proportionnels.

Pour aller un pas plus loin. Le rapport $\frac{⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }=\frac{4}{9}\approx 0,44$ est le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs, soit environ $63,6$ degrés.