Le projeté sur un plan

Orthonormer d'abord. Les deux générateurs sont orthogonaux ($1+0-1=0$) mais pas unitaires. On pose

$$u_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1),$$

qui forment une base orthonormée de $F$.

La projection. Avec $x=(1,2,4)$ : $⟨x,u_1⟩=\frac{7}{\sqrt{3}}$ et $⟨x,u_2⟩=\frac{1-4}{\sqrt{2}}=-\frac{3}{\sqrt{2}}$. Donc

$$p_F(x)=\frac{7}{3}(1,1,1)-\frac{3}{2}(1,0,-1)=(\frac{5}{6},\frac{7}{3},\frac{23}{6}).$$

La distance. $x-p_F(x)=(\frac{1}{6},-\frac{1}{3},\frac{1}{6})$, dont la norme vaut $\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{1}{9}+\frac{1}{36}}=\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0,41$.

Contrôle par l'orthogonal. $F^{\perp }$ est la droite dirigée par $(1,-2,1)$, orthogonal aux deux générateurs, et la distance vaut aussi $\frac{|1-4+4|}{\Vert (1,-2,1)\Vert }=\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Le point délicat. La formule $p_F(x)={\sum }_i⟨x,u_i⟩u_i$ exige une base orthonormée : oublier de diviser par la norme fausse tout. Ici, projeter sur un plan revient à deux projections sur des droites, parce que les deux directions sont orthogonales.