La symétrie se vérifie sur une base

Ce qu'on montre. Que l'égalité $⟨f(x),y⟩=⟨x,f(y)⟩$, supposée seulement sur les vecteurs de base, s'étend à tous les vecteurs.

Ce qu'on a le droit d'employer. La linéarité de $f$ et la bilinéarité du produit scalaire, c'est-à-dire sa linéarité par rapport à chacune de ses deux variables.

La démonstration. Soient $x={\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i$ et $y={\sum }_{j=1}^n{y}_j{e}_j$ deux vecteurs de $E$. Par linéarité de $f$ puis bilinéarité du produit scalaire : $$⟨f(x),y⟩=⟨\sum _i{x}_{i}f(e_i),\sum _j{y}_j{e}_j⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{y}_j⟨f(e_i),e_j⟩.$$ Le même développement, mené sur l'autre membre, donne $$⟨x,f(y)⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{y}_j⟨e_i,f(e_j)⟩.$$ Les deux sommes doubles ont les mêmes coefficients $x_i{y}_j$ et, par hypothèse, les mêmes facteurs $⟨f(e_i),e_j⟩=⟨e_i,f(e_j)⟩$. Elles sont donc égales, et ceci pour tous $x,y\in E$ : $f$ est symétrique.

Ce que cela vaut en pratique. On n'a $n^2$ égalités à vérifier qu'en apparence : la symétrie du produit scalaire les réduit à celles pour $i<j$. C'est exactement le nombre de coefficients d'une matrice au-dessus de la diagonale — autrement dit, on vient de redémontrer que « symétrique » se lit sur la matrice, à condition que la base soit orthonormée.