Deux vecteurs propres orthogonaux

Endomorphismes symétriques et théorème spectral · Base propre orthonormée · niveau 1 (application)

Énoncé

Une matrice symétrique $A$ d'ordre $2$ admet $(1, 1)$ comme vecteur propre pour la valeur propre $3$ et $(1, - 1)$ pour la valeur propre $- 1$ . Vérifier l'orthogonalité de ces vecteurs, puis écrire une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $D =^{t} P A P$ .

Corrigé

L'orthogonalité. $⟨(1, 1), (1, - 1)⟩ = 1 - 1 = 0$ : les deux vecteurs sont orthogonaux. Ce n'est pas une chance : le cours établit que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, et ici $3 \neq = - 1$ .

Normaliser. Les deux vecteurs ont pour norme $1 + 1 = 2$ . On pose donc $u_{1} = \frac{1}{2} (1, 1), u_{2} = \frac{1}{2} (1, - 1),$ qui forment une base orthonormée de $R^{2}$ faite de vecteurs propres.

Les matrices. En rangeant $u_{1}$ et $u_{2}$ en colonnes, dans cet ordre : $P = \frac{1}{2} (11 1 - 1), D = (30 0 - 1), D =^{t} P A P .$

L'attention à porter à l'ordre. Les colonnes de $P$ et les coefficients diagonaux de $D$ doivent se correspondre : si l'on échange les deux colonnes de $P$ , il faut échanger $3$ et $- 1$ dans $D$ . Une inversion silencieuse à cet endroit est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

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